七.背包问题的方案总数

题记

对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。

方法

背包问题的方案总数取决于具体的问题。一般而言，背包问题分为01背包问题和完全背包问题两种情况。在一个01背包问题中，物品只能选择取或不取；而在一个完全背包问题中，每个物品可以被选择多次。

在01背包问题中，假设有n个不同的物品，背包容量为W，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]。我们可以使用动态规划的方法来求解该问题，其中令dp[i][j]为前i个物品放入容量为j的背包中能获得的最大价值。则状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中dp[0][j] = 0，dp[i][0]=0。因此方案总数为dp[n][W]。

在完全背包问题中，假设有n个不同的物品，背包容量为W，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]。同样也是使用动态规划的方法来求解，不过状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])

其中dp[0][j] = 0，dp[i][0]=0。因此方案总数为dp[n][W]。

1273：【例9.17】货币系统

【题目描述】
给你一个n种面值的货币系统，求组成面值为m的货币有多少种方案。

【输入】
第一行为n和m。

【输出】
一行，方案数。

【输入样例】

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