元素向量矩阵求导公式（学到家）

元素向量矩阵求导法则【如果你在学习过程，遇到问题，可以请我做私教！老司机带你飞！】

公式都是，我一行行，通过markdown敲出来的，经过验证的，正确无误的~

1、行向量对元素求导

设 $y^T=[y_1\cdots y_n]$ 是 n 维行向量，$x$ 是元素，则 $\frac{\partial y^T}{\partial x}=[\frac{\partial y_1}{\partial x}\cdots \frac{\partial y_n}{\partial x}]$

2、列向量对元素求导

设$y=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$ 是 m 维列向量，$x$ 是元素，则：

$\frac{\partial y}{\partial x}=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial y_1}{\partial x}\\ ⋮\\ \frac{\partial y_n}{\partial x}\end{array}\right]$

3、矩阵对元素求导

设 $Y=\left[\begin{array}{cccc}& y_{11}& \cdots & y_{1n}\\ & ⋮& ⋮& ⋮\\ & y_{m1}& \cdots & y_{mn}\end{array}\right]$

是 $m\times n$ 矩阵，$x$ 是元素，则

$\frac{\partial Y}{\partial x}=\left[\begin{array}{cccc}& \frac{\partial y_{11}}{\partial x}& \cdots & \frac{\partial y_{1n}}{\partial x}\\ & ⋮& ⋮& ⋮\\ & \frac{\partial y_{m1}}{\partial x}& \cdots & \frac{\partial y_{mn}}{\partial x}\end{array}\right]$

4、元素对行向量求导

设 $y$ 是元素，$x^T=[x_1\cdots x_n]$ 是 n 维行向量，则

$\frac{\partial y}{\partial x^T}=[\frac{\partial y}{\partial x_1}\cdots \frac{\partial y}{\partial x_n}]$

5、元素对列向量求导

设 $y$ 是元素，$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$ 是 n 维列向量，则

$\frac{\partial y}{\partial x}=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial y}{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial y}{\partial x_n}\end{array}\right]$

6、元素对矩阵求导

设 $X=\left[\begin{array}{cccc}& x_{11}& \cdots & x_{1n}\\ & ⋮& ⋮& ⋮\\ & x_{m1}& \cdots & x_{mn}\end{array}\right]$

是 $m\times n$ 矩阵，$y$ 是元素，则

$\frac{\partial y}{\partial X}=[\begin{array}{cccc}& & & \\ & \frac{\partial y}{\partial x_{11}}& \cdots & \\ & ⋮& ⋮& \\ & \frac{\partial y}{\partial x_{m1}}& \cdots & \end{array}$