一、相关知识
- 目的是将二叉链表不用的节点充分利用起来。
- 二叉链表的浪费情况推算。

对于一个 n 个节点的二叉链表,共有 2n 个指针域。而 n 个节点的二叉树才有 n-1 条分支线路,故存在 2n - (n-1)= n + 1个空指针域,浪费了系统的资源。
- 定义:把指向前驱和后继指针称为线索,加上线索的二叉链表称为线索二叉树。
- 前驱和后继的解释,对于上图,中序遍历的结果是 HDIBJEAFCG 。对于节点 B 它的前驱为 I ,后继为 E。对于节点 A 它的前驱为 E ,后继为 F,依次类推。
二、线索二叉树的实质表示
- 前驱的表示,通过一次中序遍历后,将所有的空指针域中的右子树指针改为指向它的后继节点,进而得到下图。

- 将所有空指针域中左子树改为指向它前驱的节点,得到下图。

- 将上述两幅图合到一起,可以看出,线索二叉树就是将一棵二叉树转变成了一个双向链表。所以将二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程叫线索化。
我们可以看到后继的遍历过程就是从中序遍历的第一个节点开始,当该节点有直接的后继时,则输出该节点,否则的话,就按照以该节点为根进行中序遍历找到的第一个结点,作为后继结点。
也就是说按照中序遍历线索二叉树时,会出现有后序结点,和没有后序结点的两种情况。
二、线索二叉树的构建

注意:这是递归的过程,左右标志位的确定是在构建完子树后进行的。
三、线索二叉树的线索化
- 如何区别某一结点的左子树指针指向的是左孩子还是前驱节点,右子树指针指向的是右孩子还是后继结点呢?
所以引入了两个标志域 leftTag,rightTag。当 leftTag = 0 时,说明指向的是左孩子, leftTag = 1 时 指向的是前驱结点。
同样当 rightTag = 0 时,说明指向的是右孩子, rightTag = 1 时 指向的是后继结点。
- 中序遍历线索化的过程
实质:将二叉链表中的空指针域改为指向前驱或后继的线索,由于前驱和后继只有在遍历二叉树的时候才能得到,所以线索化的过程就是在遍历的过程中修改指针的过程。
过程:实际上就是两个指针移动的过程

由于还是有两个是空指针域,即第一个结点的前序结点,和最后一个结点的后继结点。
所以添加了一个头节点,让头节点的左子树域指向第一个结点,头节点的右子树域指向最后一个结点。同样第一个结点的前序结点指向头节点,最后一个结点的后继结点指向头节点,如下图。

这样我们可以从第一个节点按照后继进行遍历,也可以从最后一个节点按照前驱进行遍历。
四、线索二叉树的实现
#include "string.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */
typedef char TElemType;
typedef enum {Link,Thread} PointerTag; /* Link==0表示指向左右孩子指针, */
/* Thread==1表示指向前驱或后继的线索 */
typedef struct BiThrNode /* 二叉线索存储结点结构 */
{
TElemType data; /* 结点数据 */
struct BiThrNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */
PointerTag LTag;
PointerTag RTag; /* 左右标志 */
} BiThrNode, *BiThrTree;
TElemType Nil='#'; /* 字符型以空格符为空 */
Status visit(TElemType e)
{
printf("%c ",e);
return OK;
}
/* 按前序输入二叉线索树中结点的值,构造二叉线索树T */
/* 0(整型)/空格(字符型)表示空结点 */
Status CreateBiThrTree(BiThrTree *T)
{
TElemType h;
scanf("%c",&h);
if(h==Nil)
*T=NULL;
else
{
*T=(BiThrTree)malloc(sizeof(BiThrNode));
if(!*T)
exit(OVERFLOW);
(*T)->data=h; /* 生成根结点(前序) */
CreateBiThrTree(&(*T)->lchild); /* 递归构造左子树 */
if((*T)->lchild) /* 有左孩子 */
(*T)->LTag=Link;
CreateBiThrTree(&(*T)->rchild); /* 递归构造右子树 */
if((*T)->rchild) /* 有右孩子 */
(*T)->RTag=Link;
}
return OK;
}
BiThrTree pre; /* 全局变量,始终指向刚刚访问过的结点 */
/* 中序遍历进行中序线索化 */
void InThreading(BiThrTree p)
{
if(p)
{
InThreading(p->lchild); /* 递归左子树线索化 */
if(!p->lchild) /* 没有左孩子 */
{
p->LTag=Thread; /* 前驱线索 */
p->lchild=pre; /* 左孩子指针指向前驱 */
}
if(!pre->rchild) /* 前驱没有右孩子 */
{
pre->RTag=Thread; /* 后继线索 */
pre->rchild=p; /* 前驱右孩子指针指向后继(当前结点p) */
}
pre=p; /* 保持pre指向p的前驱 */
InThreading(p->rchild); /* 递归右子树线索化 */
}
}
/* 中序遍历二叉树T,并将其中序线索化,Thrt指向头结点 */
Status InOrderThreading(BiThrTree *Thrt,BiThrTree T)
{
*Thrt=(BiThrTree)malloc(sizeof(BiThrNode));
if(!*Thrt)
exit(OVERFLOW);
(*Thrt)->LTag=Link; /* 建头结点 */
(*Thrt)->RTag=Thread;
(*Thrt)->rchild=(*Thrt); /* 右指针回指 */
if(!T) /* 若二叉树空,则左指针回指 */
(*Thrt)->lchild=*Thrt;
else
{
(*Thrt)->lchild=T;
pre=(*Thrt);
InThreading(T); /* 中序遍历进行中序线索化 */
pre->rchild=*Thrt;
pre->RTag=Thread; /* 最后一个结点线索化 */
(*Thrt)->rchild=pre;
}
return OK;
}
/* 中序遍历二叉线索树T(头结点)的非递归算法 */
Status InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T)
{
BiThrTree p;
p=T->lchild; /* p指向根结点 */
while(p!=T)
{ /* 空树或遍历结束时,p==T */
while(p->LTag==Link)
p=p->lchild;
if(!visit(p->data)) /* 访问其左子树为空的结点 */
return ERROR;
while(p->RTag==Thread&&p->rchild!=T)
{
p=p->rchild;
visit(p->data); /* 访问后继结点 */
}
p=p->rchild;
}
return OK;
}
int main()
{
BiThrTree H,T;
printf("请按前序输入二叉树(如:'ABDH##I##EJ###CF##G##')\n");
CreateBiThrTree(&T); /* 按前序产生二叉树 */
InOrderThreading(&H,T); /* 中序遍历,并中序线索化二叉树 */
printf("中序遍历(输出)二叉线索树:\n");
InOrderTraverse_Thr(H); /* 中序遍历(输出)二叉线索树 */
printf("\n");
return 0;
}