HDOJ 2050递推

博客围绕ACM题目(http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2050)展开,参考他人博客得出解题思路。先分析直线分割面情况得出公式,再推导折线分割面情况,最终得出折线分割面公式f(n)=f(n - 1)+4*n - 3,并给出代码。

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题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2050
在题目中,参考了别人的博客才得出其解题思路:参考博客:https://blog.youkuaiyun.com/wu_lai_314/article/details/8219236
首先我们从一条线的开始判断,要使得取的面最多,则n条线要与n-1条线之间都要有交点,则当第n条线与n-1条线相交的时候,则会出现n-2条线段和2条射线,此n-2条线段会将已有的面分成两个面,每条射线也会将已有的面分成两个面,则我们得出一下式子为f(n)=f(n-1)+n-2+2;起分别为当加入第n条线的时候,则会在第n-1条基础上再多家n-2(线段切割的面)+2(两条射线切割的面)

当我们折线的时候,则在第n条折线的时候,我们首先利用第n条折线中的其中一条折边穿过第n-1条折线这些线,为了取得最多面,由于第n-1条折线会产生2(n-1)条线,则要使其折边穿过这2(n-1)条线,则当这条折边穿过这些线的时候会产生,2(n-1)-1条线段,以及两条射线,同理得另外一条折线也可以产生2(n-1)-1条线段,以及两条射线。则他们之间在第n-1条折线的基础上会多增加2(n-1)-1+2(其中一条折线产生的两条射线的多出的两面)+2(n-1)-1+2(另外一条折线产生的两条射线的多出的两面),但是由于这两条折线之间会有交点,则其这第n-1条折线总共会产生两条折线而已,又由于另外两条射线相交产生一个面,则要把这个面加上去,把另外射线产生的面给减掉,则得出公式为多:增加**2(n-1)-1+2(其中一条折线产生的两条射线的多出的两面)+2(n-1)-1+2(另外一条折线产生的两条射线的多出的两面)+1(两条射线产生的面)-2(去掉两条射线产生的面,因为他们之间相交了),则化简得公式f(n)=f(n-1)+4*n-3;
代码:


public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        BigInteger[] b = new BigInteger[10001];
        b[1]=BigInteger.valueOf(2);
        b[2]=BigInteger.valueOf(7);
        for(int i=3;i<=10000;i++) {
            int temp =4*i-3;
            b[i]=b[i-1].add(BigInteger.valueOf(temp));
        }
        Scanner sc= new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        while(n-->0) {
            int a = sc.nextInt();
            System.out.println(b[a]);
            
        }
    }

}
<think>好的,我现在需要帮助用户查找HDOJ平台上的问题2065的解决方案或解释。首先,我得确认用户的问题具体是什么。HDOJ是杭州电子科技大学的在线评测系统,问题2065可能有特定的题目内容。不过,用户提供的引用信息里提到了NUAAOJ,也就是南京航空航天大学的OJ系统,这可能是一个混淆,我需要先确认是否正确。 用户提到参考引用[1]是关于NUAAOJ的内容,但用户的问题是关于HDOJ的。这可能意味着用户在查找不同OJ平台的信息时遇到了困难,或者引用信息可能有误。首先,我需要处理这个矛盾。可能用户误将NUAAOJ的引用放到了HDOJ的问题上,或者想同时了解两个平台的问题。但根据用户的问题,核心是HDOJ的2065题,所以应该以这个为重点。 接下来,我需要查找HDOJ 2065的具体题目内容。由于无法直接访问外部资源,我需要依靠已有的知识。根据记忆,HDOJ 2065的题目通常是“红色病毒问题”,属于组合数学或递推问题,可能涉及快速幂和生成函数的应用。题目大致是给定n,求满足某种条件的字符串数量,可能涉及递推关系或模运算。 接下来,解决方案的步骤可能包括:分析题目给出的条件,建立递推公式,找到规律或矩阵快速幂的方法,或者使用生成函数来化简递推式。例如,递推式可能类似于a(n) = 2a(n-1) + 2b(n-1),然后通过特征方程或矩阵快速幂求解。 另外,用户可能需要具体的代码实现,比如使用快速幂算法来处理大数取模的情况,因为n可能非常大。例如,题目可能要求结果对某个数取模,如1000000007,这时候快速幂是必要的。 同时,用户可能需要数学上的解释,比如如何推导递推式,或者为什么使用生成函数。这部分需要详细解释,可能涉及组合数学中的排列组合,指数生成函数等概念。 然后,我需要考虑用户可能遇到的问题,比如如何处理大数的n,或者如何优化递推过程。这时矩阵快速幂或快速幂的应用是关键点,需要详细说明步骤。 最后,生成相关问题,可能涉及类似题目的解决方法,其他组合数学问题,或者不同OJ平台的使用技巧。比如如何在不同OJ上查找题目,或者其他相关题号的推荐。 现在需要确保回答符合用户的要求:结构清晰,分步骤解决,并且引用正确。但用户提供的引用[1]是关于NUAAOJ的,可能与HDOJ无关,这里可能存在错误。因此,在回答中可能需要指出这一点,并建议用户直接访问HDOJ平台查找原题,或者确认题目编号是否正确。 总结步骤: 1. 确认题目内容和正确性,建议用户核对题目来源。 2. 分析题目可能的解法,如递推、矩阵快速幂、生成函数。 3. 提供代码示例,处理大数情况下的快速幂。 4. 解释数学推导过程,帮助理解。 5. 生成相关问题,扩展用户的知识。 需要确保回答中的数学公式使用正确的LaTeX格式,行内公式用$...$,独立公式用$$...$$,并遵循其他系统级指令。</think>[用户可见层] ### HDOJ Problem 2065 分析与解答 HDOJ 2065题目常见名称为"红色病毒问题",属于组合数学与快速幂结合的典型问题。题目通常要求计算满足特定条件的字符串数量,需通过递推公式结合快速幂算法实现高效计算。 #### 题目解析 假设题目条件为:由字符$A,B,C,D$组成的字符串,要求$A,C$必须出现偶数次,求长度为$n$的字符串总数模100的结果。 递推关系可通过生成函数推导: $$ (1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots)^2 \cdot (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots)^2 = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2 \cdot e^{2x} $$ 化简后得到通项公式: $$ a(n) = 2^{2n-1} + 2^{n-1} $$ 最终结果需对100取模。 #### 代码实现 ```python def fast_pow(base, exp, mod): result = 1 while exp > 0: if exp % 2 == 1: result = (result * base) % mod base = (base * base) % mod exp = exp // 2 return result n = int(input()) while n != 0: if n == 1: print(2) else: part1 = fast_pow(2, 2*n-1, 100) part2 = fast_pow(2, n-1, 100) print((part1 + part2) % 100) n = int(input()) ``` #### 关键步骤说明 1. **快速幂算法**:用于计算$2^{2n-1}$和$2^{n-1}$的模值,时间复杂度$O(\log n)$ 2. **公式推导**:通过生成函数将组合问题转化为指数函数展开,合并后得到闭式解 3. **边界处理**:特殊处理$n=1$的情况(直接输出2) [^1]: 不同OJ平台题目可能存在差异,建议通过HDOJ官网确认题目描述
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