AOJ-737 关于最大公约数的疑惑

最新推荐文章于 2024-01-29 23:09:43 发布

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#gcd #欧拉函数

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博客讲述了如何利用欧拉函数解决一个关于最大公约数的问题。题目要求找出1到n之间所有最大公约数为素数的整数对(x,y)，并给出了解题思路和AC代码。关键在于理解gcd(a,b)=p（p为质数）时，gcd(a/p, b/p)=1，并用欧拉函数简化问题。" 43133741,2838679,冒泡排序算法详解,"['排序算法', 'Java编程', '基础算法']

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Description

小光是个十分喜欢素数的人，有一天他在学习最大公约数的时候突然想到了一个问题，他想知道从1到n这n个整数中有多少对最大公约数为素数的(x,y)，即有多少(x,y),gcd(x,y)=素数，1<=x,y<=n。但是小光刚刚接触最大公约数，不能解决这个问题，于是他希望你能帮助他解决这个问题。

Input

一个整数N (1<=N<=10^5)

Output

(x,y)的个数

Sample Input
5

Sample Output
5

Hint

(2,2) (2,4) (4,2) (3,3) (5,5)

Source

安徽省2014年“京胜杯”大学生程序设计竞赛

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解题思路：这道题依旧可以算做一个模板题= =不过在于思路，最初开始写这道题的时候，卡了很久，关键在于对于思维不活。
面对这道题，首先我们需要知道一个式子，gcd(a,b) = p（p为质数），那么gcd(a / p, b / p) = 1。看到这个式子我们就能联想到很多东西了。
首先想到的就是欧拉函数。事实就是想到这基本就结束了，后面就是无脑敲代码的节奏了。不过有一点需要注意，(a,b)和(b,a)不是同一对。
那么就需要进行处理。

以下是ac代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 100000 + 5;
bool check[maxn];
int phi[maxn];
int prime[maxn];
int tot;
//Kuangbin模板
void getEuler()
{
    memset(check, false, sizeof(check));
    phi[1] = 1;
    tot = 0;
    for(int i = 2; i < maxn; i++) {
        if(!check[i]){
            prime[tot++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 0; j < tot; j++) {
            if(i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if( i % prime[j] == 0) {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            } else {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    getEuler();
    while(~scanf("%d", &n)){
        int i, ans = 0;
        for(i = 0; prime[i] <= n; ++i){
            int tmp = 1;
            while(prime[i] * tmp <= n) ans += phi[tmp++];
        }
        printf("%d\n", 2 * ans - i);
    }
    return 0;
}