That Nice Euler Circuit UVALive - 3263

原创于 2018-03-11 21:49:05 发布 · 195 阅读

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#欧拉定理

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本文介绍了一种通过欧拉定理解决一笔画问题的方法，即计算平面上由一系列线段形成的区域数量。文章详细展示了如何定义和操作几何对象如点、向量，以及如何判断线段相交和点是否位于线段上等关键步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：平面上有n个端点的一笔画，求这些线段将平面分成几个部分。

分析：直接使用欧拉定理：V+F-E=2

V：结点数（两个边相交就算一个结点，要注意去重，加上新增的结点，去掉重复的点）

F：面数

E：边数（一个线段算是一条边）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct Point
{
    double x,y;
    Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
};

typedef Point Vector ;
const double esp=1e-10;
const int maxn=350;
Point p[maxn],v[maxn*maxn];
///两个向量相加
Vector operator +(Vector v1,Vector v2)
{
    return Vector(v1.x+v2.x,v1.y+v2.y);
}
///两个向量相减
Vector operator -(Vector v1,Vector v2)
{
    return Vector(v1.x-v2.x,v1.y-v2.y);
}
///向量与数相乘
Vector operator *(Vector v,double a)
{
    return Vector(v.x*a,v.y*a);
}
Vector operator /(Vector v,double a)
{
    return Vector(v.x/a,v.y/a);
}
///向量与数相除
bool operator<(Vector v1,Vector v2)
{
    return v1.x<v2.x||(v1.x==v2.x&&v1.y<v2.y);
}
///减少精度问题
int dcmp(double x)
{
    if(fabs(x)<esp) return 0;
    return x<0?-1:1;
}
///判断两个向量是否相等
bool  operator ==(Vector v1,Vector v2)
{
    return dcmp(v1.x-v2.x)==0&&dcmp(v1.y-v2.y)==0;
}
///点积
double Dot(Vector v1,Vector v2)
{
    return v1.x*v2.x+v1.y*v2.y;
}
double Length(Vector v)
{
    return sqrt(Dot(v,v));
}

///叉积
double Cross(Vector v1,Vector v2)
{
    return v1.x*v2.y-v1.y*v2.x;
}

///直线相交,求两条直线的交点
///调用前需保证两直线有唯一的交点，且不重合
Vector GetLineIntersection(Point p,Vector v,Point q,Vector w)
{
    Vector u=p-q;
    double t=Cross(w,u)/Cross(v,w);
    return p+v*t;
}

///判断线段相交
///充要条件：每条线段的端点都在另一条线段的两侧（叉积符号不同）
bool SegmentProperIntersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2)
{
    double c1=Cross(a2-a1,b1-a1),c2=Cross(a2-a1,b2-a1);
    double c3=Cross(b2-b1,a1-b1),c4=Cross(b2-b1,a2-b1);
    return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(c3)*dcmp(c4)<0;
}
///判断点是否在线段上
bool OnSegment(Point p,Point a1,Point a2)
{
    return dcmp(Cross(a1-p,a2-p))==0&&dcmp(Dot(a1-p,a2-p))<0;
}
int n;
bool cmp(Point v1,Point v2)
{
    return v1.x<v2.x||(v1.x==v2.x&&v1.y<v2.y);
}
int main()
{
    int ka=0;
    while(cin>>n)
    {
        if(n==0) break;
        ka++;

        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            cin>>p[i].x>>p[i].y;
            v[i]=p[i];
        }
        int c=n-1;
        for(int i=0; i<n-1; i++)
        {
            for(int j=i+1; j<n-1; j++)
            {
                if(SegmentProperIntersection(p[i],p[i+1],p[j],p[j+1]))
                {
                    v[c++]= GetLineIntersection(p[i],p[i+1]-p[i],p[j],p[j+1]-p[j]);
                }
            }
        }
        sort(v,v+c,cmp);
        c=unique(v,v+c)-v;
        int e=n-1;
        for(int i=0; i<c; i++)
        {
            for(int j=0; j<n-1; j++)
            {
                if(OnSegment(v[i],p[j],p[j+1])) e++;
            }
        }
        cout<<"Case "<<ka<<": There are "<<e+2-c<<" pieces."<<endl;
    }
}