费马小定理（介绍+证明+逆元代码实现）

最新推荐文章于 2022-11-17 20:02:19 发布

地球太危险了

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分类专栏：数据结构与算法

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一、背景知识回顾

1、什么是质数？

质数（prime number）又称素数，有无限个。

质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

2、≡的意思？

≡ 的意思是左右两边的数对p求模结果相同。

3、mod的意思？

指求模运算。

4、数论中的倒数（也成为逆元）

我们知道：如果a*x = 1，那么x是a的倒数，x = 1/a，但是a如果不是1，那么x就是小数。

那么在数论中，大部分情况下都有求余，所以现在问题变了

现在有：a*x ≡ 1 (mod p)

那么x一定等于1/a吗？

不一定

那么在这个时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做a关于p的逆元。

二、什么是费马小定理？

费马小定理是数论中的一个定理。其内容为假如a是一个整数，p是一个质数的话，那么:

　　ap = a(mod p)

　　假如a不是p的倍数的话，那么这个定理也可以写成:

　　ap − 1 = 1(mod p)

　　这个书写方式更加常用些。

三、费马小定理历史

　　皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个质数的要求。这个要求实际上不存在。

四、费马小定理证明

　任意取一个质数，比如13。考虑从1到12的一系列整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，给这些数都乘上一个与13互质的数，比如3，得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。对于模13来说，这些数同余于3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。这些余数实际上就是原来的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是顺序不同而已。

　　把1,2,3,„,12统统乘起来，乘积就是12的阶乘12！。把3,6,9,„,36也统统乘起来，并且提出公因子3，乘积就是312×12！。对于模13来说，这两个乘积都同余于1,2,3,„,12系列，尽管顺序不是一一对应，即312×12！≡12！mod 13。两边同时除以12！得312≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理。

证明来自:《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第六章　开门咒

五、应用

费马小定理可以快速求得x关于p的逆元（参看上面逆元的概念）。

前提当然得是x与p互质才有逆元。

即：x*x^p-2 ≡ 1 （mod p）

所以x^p-2就是x关于p的逆元。

六、求逆元的代码实现

这里使用了快速幂算法来求x^p-2。

#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
ll quickpow(ll a, ll b, ll p){
    ll temp = 1;
    while(b){
        if(b & 1) temp = (temp * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return temp;
}
int main()
{
	ll a, p;
	cin>>a>>p;
	cout<<quickpow(a, p-2, p)<<endl;
	return 0;
}

参考博客：

1、逆元的概念与逆元的计算：https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194184.html

2、费马小定理证明：https://www.cnblogs.com/flipped/p/5218037.html

3、快速幂算法：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_42151279/article/details/81057137