解题笔记（18）——n个骰子的点数

       问题描述：把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为S。输入n，打印出S的所有可能的值出现的概率。

         思路：这是一道应用动态规划思想的题目，而动态规划最难的就是要找最优子结构。并采取一种称为备忘录的方法避免重复计算。因为备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录，以备需要时参看，避免了相同子问题的重复求解。

        本题的最优子结构为：F(k, n) 表示k个骰子点数和为n的种数，k表示骰子个数，n表示k个骰子的点数和

                 /       = F(k-1, n-6) + F(k-1, n-5) + F(k-1, n-4) + F(k-1, n-3) + F(k-1, n-2) + F(k-1, n-1)        对于 k > 0, k <= n <= 6*k
 F(k, n) =     
                 \       = 0              对于 n < k or n > 6*k

         当k=1时, F(1,1)=F(1,2)=F(1,3)=F(1,4)=F(1,5)=F(1,6)=1。

         从上面公式可以看出，k个骰子点数和为n的种数只与k-1个骰子的和有关。这就可以用到备忘录的方法，用一张表格保存已解决的子问题的解，然后自底向上填表。考虑到当前层的计算只与下一层有关，因此只需保存一行。

         参考代码：

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1. const int FACE_NUM = 6; //骰子的面数  
2.   
3. //函数功能 ： n个骰子的点数  
4. //函数参数 ： number为骰子数  
5. //返回值 ：   无  
6. void PrintSumProbabilityOfDices(int number)  
7. {  
8.     if(number <= 0)  
9.         return;  
10.   
11.     int *pSum = new int[number * FACE_NUM + 1]; //和的种类  
12.     double total = pow(6.0, number);  //<cmath>  
13.     int size = number * FACE_NUM;  
14.     int i,j,k;  
15.   
16.     //初始化  
17.     pSum[0] = 0;  
18.     for(i = 1; i <= FACE_NUM; i++)  
19.         pSum[i] = 1;  
20.     for(; i <= size; i++)  
21.         pSum[i] = 0;  
22.   
23.     for(i = 2; i <= number; i++) //骰子个数从2到n  
24.     {  
25.         for(j = i * FACE_NUM; j >= i; j--) //第i个骰子的和的范围为 [i, i*FACE_NUM]  
26.         {  
27.             pSum[j] = 0;  
28.             for(k = 1; k <= 6 && j >= k; k++) //其实展开就是 F(i, j) = F(i-1, j-6) + F(i-1, j-5) + F(i-1, j-4) + F(i-1, j-3) + F(i-1, j-2) + F(i-1, j-1)   
29.             {  
30.                 pSum[j] += pSum[j-k];   
31.             }  
32.         }  
33.         //不可能的情况，即i个骰子的和不可能小于i  
34.         for(j = i - 1;j >= 0; j--)  
35.             pSum[j] = 0;  
36.     }  
37.   
38.     //打印结果  
39.     for(i = 0; i <= size; i++)  
40.         cout<<"sum = "<<i<<", p = "<<pSum[i] / total<<endl;  
41. }