KMP学习篇——next数组计算及应用，KMP匹配

众所周知， KMP是个神奇的算法，不少人都会使用，但是大部分人只是只知其然不知其所以然(像今天之前的我，模板记得溜溜的，但是却不知道是怎样一步一步推导而来的)，下面我就来详细探讨一下；

首先学习一个算法，要首先知道该算的是什么，是用来做什么的；
KMP算法，就是一个用来匹配字符串的优秀算法，由D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt三位大牛同时发现的，因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作（简称KMP算法）。KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。其时间复杂度为O(n+m),(n为主串的长度，m为模式串的长度)；
解释一下主串与模式串：
现有字符串S1， S2， 问S2是否包含于S1中，则我们把S1视为主串，把S2视为模式串(通俗地讲，长度长的为主串，反之为模式串)；

那么KMP算法是如何来匹配字符串的呢？
先把KMP放到一边，我们先来手动匹配一下下面两个串：
S1： a b c a b c a b d e
S2： a b c a b d e
大家想要怎样匹配呢？
首先S1[0]与S2[0] 匹配，匹配成功，然后S1[1]与S2[1]匹配…， 直到S1[5]与S2[5]匹配失败，此时，我们再开始由S1[1]与S2[0]匹配…, 直到S1[3]成功匹配到S2[0]，接下来，就把后边全部匹配成功了；

但是大家有没有发现，这样匹配有点麻烦，当最初S1[5]与S2[5]匹配失败时，我们可以直接用S1[5]与S2[2]匹配，为什么呢？ 因为S1[3, 4]是和S2[0, 1]相匹配的，直接由S1[5]与S2[2]即可；之前的不需再去匹配，这样效率就提高了；

当红色匹配失败时，我们知道蓝色是必定会匹配成功的

所以直接由绿色部分开始匹配，以提高效率；

那么，我们又是如何知道上边图中的蓝色部分是已经匹配成功了的呢？
我们来观察一下模式串S2：
a b c a b d e;
前五个字符构成的串是不是有一个长度为2的相同前后缀ab呢？
那么，既然之前S1与S2的前五个字符是匹配成功的，那么，S1的前五个字符构成的串，也必定有这样一个相同的前后缀ab，那么，第二个ab不就直接与S2的第一个ab相匹配了吗?
到了这里，大家也许就有点恍然，我们可以由模式串S2中得到一些信息，是的在将S2与S1匹配时不做无用功，提高效率；这样就引出了next数组；
next数组定义如下：
next[0]=-1;
next[i]=j;表示前i个字符构成的串中有一个长度为j的相同前后缀；
下面来推一下next数组的计算过程；
初始为next[0]=-1;
next[1]=0;
假设已知next[j]=k;
有已知：前j个字符构成的串，有一个长度为k的相同前后缀，即S[0 ~ k-1] = S[j-k ~ j-1]；
（下图红色串s1）；
下面求next[j+1];
（一）： 若S[k] == S[j], 则next[j+1]=k+1;

（二）：若S[k] != S[j]；
先看前半部分，必有绿色串s2位相同前后缀；那么后边的s1串中也必有一个后缀s2；
而s2的长度为next[k]，即S[0 ~ next[k] ];
此时将S[j]与S[ nenxt[k] ]匹配，若S[j] == S[ nenxt[k] ]，则next[j+1]=next[k]+1;
若S[j] != S[ nenxt[k] ]，那么继续将S[j]与S[ next[ next[k] ] ] 匹配，直到next[ next […[k] ] ]=-1,此时不存在相同前后缀，next[j+1]记为0；
可以看出将k重置为next[k], 就是一个递归过程，这样就可以求出next数组了；

next数组计算代码：

int next[maxn];
void cal_next(char *s){
	int len=strlen(s);
	int j=0, k=-1;
	next[0]=-1;//next数组初始值;
	while(j<len){
		if(k==-1 || s[j]==s[k]) j++, k++, next[j]=k;
		else k=next[k];
	}
}

好，上面就是next数组的计算，一定记住，next数组是根据模式串S2计算的！

那么下边就可以进行字符串的匹配了，但是在那之前，我想先说一下next数组的应用——求字符串的循环节；
WTF！！！
还有这种操作？？？
下面是结论：
若串S是由若干个循环节s构成的(s的个数大于1)，则对于S串的next数组有： strlen(S) % (strlen(S) - next[strlen(S)]) = 0;
此时最小循环节长度(即s的长度)为：strlen(S) - next[ strlen(S) ]； 注： next[ strlen(S) ] != 0;

接下来就是字符串的匹配了；
还是以之前的字符串匹配为例：
S1： a b c a b c a b d e
S2： a b c a b d e

当匹配到红色区域时，匹配失败；
由next数组可以得知S2中 d 前方的字符构成的串中，有一个长度为2的相同前后缀，也就是说，S1中 c 前方的字符构成的字符串中也有同样的前后缀，此时S1中的后缀和S2中的前缀是匹配的，即ab不需再匹配了，直接cc匹配；
S1的指针不需要移动，只需把S2的指针挪到已经匹配好的串后边开始匹配即可；

bool KMP(char *s1, char *s2){
	int len1=strlen(s1), len2=strlen(s2);
	int i=0, j=0;
	for(int i=0; i<len1; i++){
		while(j&&s1[i]!=s2[j]) j=next[j];
		if(s1[i]==s2[j]) j++;
		if(j==len2){
			return true;
		}
	}
	return false;
}