动态规划入门经典<一>之数字三角形

<一>什么是动态规划?

动态规划是解决多阶段决策问题常用的最优化理论。动态规划适合求解多阶段决策问题的最优解，也可用于含有线性或非线性递推关系的最优解，但是这些问题都必须满足最优化原理和子问题的“无后效性”。

<二>最优化原理：

“最优化原理是指一个最优策略的子策略，对于它的初态和终态而言也必是最优的。”–百度百科。

对于一个问题的最优子结构，不管之前的状态和过去的决策是怎样的，对之前的决策所形成的现在的状态来说，其后的决策必须是最优策略。换而言之，不管前面的决策如何，从现在起所用的决策，必须是在之前的决策下所形成的状态的基础上的最优决策。这样形成的最优子结构就符合最优化原理。

<三>无后效性：

“某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各种状态及决策的影响。

简单的说，就是当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变，“未来与过去无关”。

具体地说，如果一个问题被划分各个阶段之后，阶段I中的状态只能由阶段i-1中（或多个有限历史阶段）的状态通过状态转移方程得来，与其它状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系。”–百度百科

无后效性这个概念对于初学者而言的确是有点难以理解，很容易陷入一种思维误区。需要自己去多多思考。

<四>动态规划的基本思想:

　　　　对子问题进行分解，通过求解小规模的子问题再反推出原问题的解。动态规划沿着决策的阶段划分子问题，决策的阶段可以随时间划分 ，也可以随问题的演化状态去划分。
　　　　动态规划并没有固定的解题模式，而是作为一种解题的指导思想存在。使用动态规划解题时一般需要四个步骤：
　　　　-定义最优子问题
　　　　-定义状态
　　　　-定义决策和状态转移方程
　　　　-确定边界条件

1、定义最优子问题：

　　　　定义最优子问题，也就是找问题的优化目标以及用什么样的决策才能得到最优解，并对决策阶段进行划分。
　　　　所谓阶段，可以理解为解决一个问题所要经过的步骤（环节），这些步骤前后相关联。划分阶段同样也没有固定的模式，需要具体问题具体分析。

2、定义状态：

　　　　状态既是决策的对象，同时也是决策的结果。对于每一个阶段来说，对起始状态加以决策，使状态发生改变得到决策后的结果状态。初始状态经过一系列的决策之后得到的状态就是这个问题的解。但是，并不是所有的决策施加于初始状态都能得到最优解，只有其中一个决策序列能得到最优解。状态的定义是建立在子问题定义的基础之上的，因此必须满足“无后效性”这个要求。必要的时候，可以增加状态的纬度、引入更多的约束条件来使得状态的定义满足“无后效性”这个要求。

3、定义决策和状态转移方程：

　　　　所谓决策，是指能够使状态发生转变的选择动作，如果选择动作有多个，那么决策就是这多个动作中可以得到阶段最优解的那一个。
　　　　所谓状态转换方程，就是描述状态转换关系的一系列等式。也就是从n-1阶段演化为n阶段的演化规律。状态转换取决于子问题的堆叠方式，如果状态定义得不合理，那么就会导致子问题之间没有重叠的部分，也就不存在状态转换关系了，自然也不存在状态转换方程。动态规划也就失去了意义。

4、确定边界条件：

　　　　对于记忆搜索实现的动态规划方法，边界条件就是递归终止的条件。对于使用递推关系直接实现的动态规划方法，需要确定状态转换方程的递推式的初始条件或者边界条件，否则无法开始计算。

下面我们来看一道动态规划入门经典的题目：数字三角形。

　　　　　　　　　　　   The Triangle POJ - 1163

7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

(Figure 1)
Figure 1 shows a number triangle. Write a program that calculates the highest sum of numbers passed on a route that starts at the top and ends somewhere on the base. Each step can go either diagonally down to the left or diagonally down to the right.

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Input
Your program is to read from standard input. The first line contains one integer N: the number of rows in the triangle. The following N lines describe the data of the triangle. The number of rows in the triangle is > 1 but <= 100. The numbers in the triangle, all integers, are between 0 and 99.
Output
Your program is to write to standard output. The highest sum is written as an integer.

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Sample Input
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
Sample Output
30

题意：

　　　　在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99。

解题思路：

　　　　1. 用一个二维数组存来放数字三角形。
　　　　2. D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)
　　　　3. MaxSum(r, j) : 从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。
这样，问题就变成了求解 MaxSum(1,1)

这是一道典型的递归问题。

D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形：
　　　　if ( r == N)
　　　　　　MaxSum(r,j) = D(r,j)
　　　　else
　　　　　　MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)

思路有了，那我们就来写一下代码吧：

#include <iostream>
#include <algorithm>

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