51Nod 1009 数字1的数量

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本文介绍了一种计算从1到N范围内数字1出现总次数的方法，通过数学规律和数位DP两种途径实现了问题的解决，并提供了清晰的代码示例。

1009 数字1的数量

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 5 难度：1级算法题收藏关注
给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有正数，计算出其中出现所有1
的个数。
例如：n = 12，包含了5个1。1,10,12共包含3个1，11包含2个1，总共5个1。
Input
输入N(1 <= N <= 10^9)
Output
输出包含1的个数
Input示例
12
Output示例
5

思路：

这道题可以用dp写，也可以直接找规律按照数学得方式写。
我感觉dp反而复杂化了，所以用了数学，代码清秀。
规律：每一位出现1的总个数跟自己数值和更高位的数和更低位的数字有关。

如果第i位数字是0，那么第i位出现1的次数为（高位）*10^i
如果第i位数字是1，那么第i位出现1的次数为（高位）*10^i + 低位数字+1
如果第i位数字是大于1，那么第i位出现1的次数为（高位+1）*10^i

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

long long n,cnt,i;

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);

    cin>>n;
    i = 1;
    cnt = 0;
    while(n >= i) {
        cnt += n/(i*10)*i;
        long long temp = n/i%10;
        if(temp > 1) {
            cnt += i;
        }
        else if(temp == 1) {
            cnt += n%i+1;
        }
        i *= 10;
    }
    cout<<cnt<<endl;

    return 0;
}

数位DP写法

dp[i]表示1~10^i - 1范围内的1的个数
那么我们想算出1~n的数字，该怎么算出？
换句话说怎么用dp推出结果？
从低位还是从高位推？如果不知道的话手动模拟一下，我们在算的时候某一位的数字
需要比它低位的数字结果，那么需要从低位向上推。
当某一位数字digit大于1其结果是ans += 10的len-1次方+dp[len-1]*digit前者是当
此位为1的情况，后者是每一个数字小于等于digit都有低位dp[len-1]个满足1的情
况。
当等于1的时候tail + dp[len-1] + 1前者是去掉高位的数字后者是此位为1的情况。

最开始我一直在想为什么没有等于0的情况原因是会算重复，因为其低位已经算过了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <math.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL n,m;
LL dp[20];

void init()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i = 1;i < 20; i++) {
        dp[i] = dp[i-1]*10 + pow(10,i-1);
    }
}

LL solve(LL x)
{
    LL ans = 0;
    LL tail = 0;
    LL tenn = 1;
    int digit = 0;
    int len = 0;

    while(x) {
        digit = x%10;
        x /= 10;
        len++;
        if(digit > 1) {
            ans += tenn + digit*dp[len-1];
        }
        else if(digit == 1) {
            ans += tail + dp[len-1] + 1;
        }
        tail = tail + digit*tenn;
        tenn *= 10;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);

    init();
    scanf("%I64d",&n);
    printf("%I64d\n",solve(n));
    return 0;
}