线性规划问题与单纯形法

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线性规划是运筹学中一个很重要的分支，本文通过一个实例简单的介绍一下什么是线性规划问题，以及单纯形法的计算步骤。

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问题 ： 在一个工厂中，有两种产品A与B，它们的单价分别为6元与7元。A产品需要2千克原料P与4千克原料Q，而B产品需要3千克P与1千克Q，且P原料总数为16千克，Q原料总数为12千克，设计一种方案，即需要分别生产多少单位A和B可以使得利润最大化？
问题出处 ：《运筹学基础及其MATLAB应用》 – 李工农

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我们分析上述问题，假设要生产x1单位A，x2单位B，那我们可以得到z = 6 * x1 + 7 * x2，所以我们的问题就转化为了怎样使得z最大。如果只按照上面这一式子求最大值，显然求不出来，故我们需要增加一些约束条件。因为P与Q原料是有限的，所以我们很容易得出2 * x1 + 3 * x2应该小与等于16，同时4 * x1 + 1 * x2应该小与等于12。此外，由于生产单位数不可能是负数，所以还应增加一约束条件x1 >= 0，x2 >= 0。我们将上面几个式子汇总一下，max表示求最大，s.t.(subject to)表示约束条件：
max z = 6 * x1 + 7 * x2
s.t.
2 * x1 + 3 * x2 <= 16
4 * x1 + 1 * x2 <= 12
x1,x2 >= 0
此时，我们再引入两个剩余参数x3与x4，目的是使得约束条件的前两个式子能够左右相等，由于前两个不等式左边恒小与等于右边，所以我们将x3与x4分别放到这两个式子左边，为了能够左右两边值相同，x3与x4必大于等于0。
max z = 6 * x1 + 7 * x2
s.t.
2 * x1 + 3 * x2 + x3 = 16
4 * x1 + 1 * x2 + x4 = 12
x1,x2,x3,x4 >= 0
上式就是一个标准的线性规划模型，现在给出线性规划的通俗定义，形如
max z = c^TX
s.t.
$\Sigma {}_{j=1}^n{P}_j{x}_j=b$
$x_j>=0(j=1,2,...,n)$
这类模型的问题都可以划为线性规划的范畴。其中，c^T等价于上面问题中的[6,7,0,0]，称作价值系数，X表示[x1,x2,x3,x4]^T，称作决策变量，b表示[16,12]^T，称作资源系数，最后P表示[2,3,1,0 ;4,1,0,1]，称作技术系数。另外我们称z为目标函数，我们需要求的便是目标函数的最优解。

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到现在，我们已经大致明白了线性规划问题究竟是什么样的一个模型。然后，我们还需要知道一些线性规划中一些名词：

• 可行解：满足全部约束条件的解
• 可行域：可行解所构成的集合
• 最优解：所有可行解对应的目标函数值中，最大的一个值所对应的解
• 基：假设技术系数P是一个m x n的一个矩阵，其秩rank ( P ) = m，n >= m我们可以知道P中至少有m个线性无关的列向量，我们将这m个列向量组成一个新的矩阵，记作B，这就是一组基。例如问题中P = [2,3,1,0; 4,1,0,1]，则我们可以挑出一组线性无关的列向量（基）[1,0; 0,1]
• 基变量：基对应的X称作基变量$X_B$，例如[1,0; 0,1]对应的基变量就是[x3, x4]
• 非基：顾名思义P矩阵除去基后剩余的矩阵称作非基N，所以P = [B,N]
• 非基变量 ：X除去基变量后剩余的元素称作非基变量$X_N$，X = [$X_B,X_N$]
• 基解：我们设PX=b(即约束条件中的第一个式子)，其等价于(B,N)($X_B^T,X_N^T$)^T = b，化简等于$B{X}_B+N{X}_N=b$。此时我们令非基变量$X_N=0$，可得到$X_B=B^{-1}b$，这是我们称由基变量与非基
  变量合成的X，即($b^T{B}^{-T},0$)是问题的一个基解，显然取基不同，基解也不尽相同
• 基可行解：在基解中若满足X >= 0，称该基解为基可行解
• 可行基：基可行解对应的基称作可行基

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了解了这些名词后，我们正式引入单纯形法解决这类问题。以下列出了单纯形法的基本步骤：

1. 先找出一个基可行解，称作初始基可行解
2. 判断该基可行解是否是最优解
3. 若判断为最优解算法终止，否则更换基可行解，返回第二步

我们通过解决最初提出的问题更详细的描述一下单纯形法。

1. 初始条件为P = [2,3,1,0 ; 4,1,0,1]，c = (6,7,0,0)^T，b = [16,12]^T，X = [x1,x2,x3,x4]^T
2. 先找基B，我们可以很容易的发现一对线性无关的单位向量[1,0 ; 0,1]，令其为B，N为[2,3 ; 4,1]，由于$B{X}_B+N{X}_N=b$，其中，$X_B=[x_3,x_4{]}^T,X_N=[x_1,x_2{]}^T$，令$X_N=0$，可以得到$X_B=[16,12{]}^T$，X = [0,0,16,12]^T，由于X >= 0，故该解是一个基可行解
3. 我们由约束方程组可以得到：
   $(1)x_3=16-$