洛谷 P8816 [CSP-J 2022] 上升点列 题解

最新推荐文章于 2025-07-23 13:53:02 发布
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#动态规划 #算法 #图论

最长上升子序列

根据题目中，每个坐标的横纵坐标均单调递增，所以明显可以使用最长上升子序列.

定义状态 fi,pf_{i,p}fi,p​，表示正在节点 iii 时，还剩下 ppp 次插入机会，所能达到的最大长度.

定义变量 dis=∣xi−xj∣+∣yi−yj∣−1.dis = |x_i-x_j|+|y_i-y_j|-1.dis=∣xi​−xj​∣+∣yi​−yj​∣−1.，表示 iii 到 jj

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洛谷P8816 [CSP-J 2022] 上升点列
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你在自由添加 𝑘k 个点后，还需要从 𝑛+𝑘n+k 个点中选出若干个整数点并组成一个序列，使得序列中任意相邻两点间的欧几里得距离恰好为 11 而且横坐标、纵坐标值均单调不减，即 𝑥𝑖+1−𝑥𝑖=1,𝑦𝑖+1=𝑦𝑖xi+1​−xi​=1,yi+1​=yi​ 或 𝑦𝑖+1−𝑦𝑖=1,𝑥𝑖+1=𝑥𝑖yi+1​−yi​=1,xi+1​=xi​。对于所有给定的整点，其横纵坐标 1≤𝑥𝑖,𝑦𝑖≤1091≤xi​,yi​≤109，且保证所有给定的点互不重合。输出一个整数表示满足要求的序列的最大长度。
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蓝胖子编程教育，是一家面向青少年的编程教育平台。平台为全国青少年提供最专业的编程教育服务，包括提供最新最详细的编程相关资讯、最专业的竞赛指导、最合理的课程规划等。本平台利用趣味性和互动性强的教学方式，旨在激发孩子们对编程的兴趣，培养他们的逻辑思维能力和创造力，让孩子们在轻松愉快的氛围中掌握编程知识，为未来科技人才的培养奠定坚实基础。对于自由添加的整点，其横纵坐标不受限制。分别表示给定的整点个数、可自由添加的整点个数。输出一个整数表示满足要求的序列的最大长度。请给出满足条件的序列的最大长度。
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动态规划经典应用：2022年CSP-J上升点列问题详解与代码实现
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该文介绍了解决二维坐标点最长严格递增序列问题的动态规划方法。算法首先对点集进行排序预处理，然后定义状态dp[i][j]表示以第i个点结尾、使用j个额外点时的最长序列长度。通过状态转移方程计算两点间所需插入点数，并考虑使用剩余点数来延长序列，最终输出全局最大值。时间复杂度为O(n²k)，空间复杂度为O(nk)。文章包含完整代码实现、详细注释和核心算法解析，适合学习动态规划在多维状态下的应用技巧。
【题解】LuoGu8816：[CSP-J 2022] 上升点列
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本来我们是顺序选取物品，那么如果现在物品之间需要满足一种拓扑关系，或者是说想要选取物品b，必须先选取物品a这样的关系呢。这是一个树形dp，想要选课a，必须要选课b，将选课关系建成一棵树，做树形dp就是这道题目的做法。这道题物品之间只需要满足坐标不降，关联两个物品就需要欧几里得距离的重量，价值就是点数。这道题可以把课看成物品，课本身算作重量，一门课的重量就是“1”，物品的价值在这边就是课的得分，背包问题中是由。每个点就是一个物品，用的附加点的数量就是重量，能不能理解？都有背包问题的影子，都可以算作我提出的。
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从某个点开始，向右或向下走（要求走到的位均有点），最多可以走多少个点。的情况（思路3的特殊情况），搜索加记忆化剪枝(参见思路3)或排序后动态规划求解。根据已插入点的个数 m, 将每个点拆分成k + 1个点，每个点标记为（i, m)。只能向右下方走，能走到的点一定在右下方，不会形成环，不需要数组标记走过的点。，且保证所有给定的点互不重合。对于自由添加的整点，其横纵坐标不受限制。分别表示给定的整点个数、可自由添加的整点个数。下面位置没有点，需要插入 1 个点。个点为结尾能取得的序列的最长长度。
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现在题目中从一维变成了二维，即增加了y轴，所以在判断时除了 x 不减，还要考虑 y 也不减（否则跳过该点即可）。另外，给了 k 个自由点，所以。$$dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)$$ ： 前i个点，形成的最长上升子序列长度。个插入点后的最长上升子序列长度为 5（如下图 点1，插1，插2，插3，点5），: 前 i个点，且已经插入了 p个自由点后形成的最长上升子序列长度。个插入点后的最长上升子序列长度为 3（如下图 点1，插1，插2），举例，若输入的 k = 4。
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