Fence Building（欧拉定理、卢卡斯定理）

最新推荐文章于 2024-08-06 09:17:21 发布

桂十三

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分类专栏：题目数论

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本文介绍了一种计算平面内由点连线形成区域数量的方法，利用组合数公式C(n,4)和C(n,2)进行计算，并提供了一个C++实现，包括快速幂模运算、组合数计算及Lucas定理的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

平面内的区域个数=平面内的点数+平面内的边数+2，因为这个是在圆上，所以圆外的那1个要减去，所以最后+1而不是+2。点数=C(n,4)，即每4个点连线就有一个平面内的点产生，边数=C(n,2)，即每两个点连线就产生一条边。

组合数的几种求法

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <deque>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define eps 0.0000000001
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define MAX 1e9
#define inf 99999999999999999
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;

ll p=mod;
ll n,m;

ll quick_mod(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    a %= p;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = ans * a % p;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return ans;
}

ll C(ll n, ll m)
{
    if(m > n)
        return 0;
    ll ans = 1;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        ll a = (n + i - m) % p;
        ll b = i % p;
        ans = ans * (a * quick_mod(b, p-2) % p) % p;
    }
    return ans;
}

ll Lucas(ll n, ll m)
{
    if(m == 0)
        return 1;
    return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;
}


int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int cas=1;
    while(T--)
    {
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        ll ans=(Lucas(n,2)+Lucas(n,4)+1)%mod;
        printf("Case #%d: %lld\n",cas++,ans);
    }

    return 0;
}