范数的理解和应用

1、理解函数和映射的区别

• 函数和映射都是两个非空集合中元素的对应关系，其中元素都有对应关系。
• 函数是一种特殊的映射，在二维空间上容易想象，函数可以对应几个空间上若干个点组成的图形。但当超出三维空间时，就提出映射来更好的表达这种关系。
• 映射是一个集合通过某种关系转化到另一个集合，通常数学上说先映射再讨论函数。矩阵的引入就是表征多维空间的线性映射关系，简单可以理解为，一个集合（向量），通过一种映射关系（矩阵），得到另一个几何（另一个向量）。

2、范数的理解

• 向量的范数，表示这个原有集合的大小。
• 矩阵的范数，表示这个变化过程的大小的度量。
• 具体的几范数，定义不同，一个矩阵范数往往又一个向量范数引出，称为算子范数。

3、范数的应用

【补充】：

• 0范数，向量中非零元素的个数。
• 1范数，为绝对值之和。
• 2范数，就是通常意义上的模。
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