365. 水壶问题(详解)

题目链接如下：

365. 水壶问题 - 力扣（LeetCode）

有两个水壶，容量分别为 x 和 y 升。水的供应是无限的。确定是否有可能使用这两个壶准确得到 target 升。

你可以：

装满任意一个水壶
清空任意一个水壶
将水从一个水壶倒入另一个水壶，直到接水壶已满，或倒水壶已空。
示例 1: 

输入: x = 3,y = 5,target = 4
输出: true
解释：
按照以下步骤操作，以达到总共 4 升水：
1. 装满 5 升的水壶(0, 5)。
2. 把 5 升的水壶倒进 3 升的水壶，留下 2 升(3, 2)。
3. 倒空 3 升的水壶(0, 2)。
4. 把 2 升水从 5 升的水壶转移到 3 升的水壶(2, 0)。
5. 再次加满 5 升的水壶(2, 5)。
6. 从 5 升的水壶向 3 升的水壶倒水直到 3 升的水壶倒满。5 升的水壶里留下了 4 升水(3, 4)。
7. 倒空 3 升的水壶。现在，5 升的水壶里正好有 4 升水(0, 4)。
参考：来自著名的 "Die Hard"
示例 2:

输入: x = 2, y = 6, target = 5
输出: false
示例 3:

输入: x = 1, y = 2, target = 3
输出: true
解释：同时倒满两个水壶。现在两个水壶中水的总量等于 3。
提示:

1 <= x, y, target <= 10^3

两个水壶, 容量分别是x,y => 能否通过下面的操作得到target升水

操作：
1. 装满任意一个水壶
2. 清空任意一个水壶
3. 将水从一个水壶倒入另一个水壶，直到接水壶已满，或倒水壶已空。

注：可以两个水壶同时处于满的状态

观察用例1：
输入: x = 3,y = 5,target = 4
输出: true

如果target>x+y, 直接 return false
对于用例1的具体操作如下：
(0,5) -> (3,2) -> (0,2) -> (2,0) -> (2,5) -> (3,4) -> (0,4)
过程中, 每次操作完一次之后，操作的结果是两个桶至少有一个桶是空的或者满的

//ax+by=m (a,b,m 都是整数)
//该方程有整数解的充要条件是：m是a,b最大公约数的倍数

因此, 只要target是x,y最大公约数的倍数, 操作就有效


我的疑问是方程怎么和上述操作产生关系的, 有啥突破点吗？或者突破点就是找规律吗
重复执行把x壶装满后倒到y中, 如果y满了就把y倒掉
若x=3, y=5, target=2
(3,0) => (0,3) => (3,3) => (1,5) => (1,0) => (0,1) => (3,1) => (0,4) => (3,4) => (2,5) -> (2,0)
记录B壶在每轮开始时刻的水量：0 3 1 4 2 0....
在这个循环里, y中的水量会依次变成：
(0, 3, 6≡1, 9≡4, 12≡2 mod 5)
0,  x mod y,  2x mod y,  3x mod y, ... => n*x mod y
也就等价于集合 {0, gcd(x, y), 2gcd(x, y), ...}
gcd(3,5)=1,2 3 4 
这些恰好是模5下所有1的倍数 - 也就是所有余数0到4
所以每轮B的可达水量就是gcd(x,y)的倍数

因此, 任何时刻两壶中任意一壶或总水量，都是 gcd(x,y) 的倍数；同时总水量当然不会超过 x+y。因此出现 target > x+y 必不可能；target 不是 gcd(x,y) 的倍数也必不可能。
代码实现上只需要判断target是否是gcd(x,y)的倍数即可

代码：
class Solution {
public:
    bool canMeasureWater(int x, int y, int target) {
        if(x+y<target){
            return false;
        }
        return target%gcd(x,y)==0;
    }
};

JAVA: 

class Solution {
    private int gcd(int x,int y){
        if(y==0) return x;
        return gcd(y,x%y);
    }
    public boolean canMeasureWater(int x, int y, int target) {
        if(x+y<target){
            return false;
        }
        return target%gcd(x,y)==0;
    }
}

JS:

/**
 * @param {number} x
 * @param {number} y
 * @param {number} target
 * @return {boolean}
 */
var canMeasureWater = function(x, y, target) {
    if(x+y<target){
        return false;
    }
    return target%gcd(x,y)==0;
};
const gcd=(x,y)=>y==0?x:gcd(y,x%y);

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