LeetCode刷题day28——动态规划（完全背包）

52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）

https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1052

题目描述

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。

小明的行李箱所能承担的总重量是有限的，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。

输入描述

第一行包含两个整数，n，v，分别表示研究材料的种类和行李所能承担的总重量

接下来包含 n 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值

输出描述

输出一个整数，表示最大价值。

输入示例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出示例

10

提示信息

第一种材料选择五次，可以达到最大值。

数据范围：

1 <= n <= 10000;
1 <= v <= 10000;
1 <= wi, vi <= 10^9.

分析：

先思考二维数组的解法，这道题就好理解多了。完全背包指每个物品都有无数个。

完全背包与01背包的不同：

• 二维数组：递推公式

• 一维数组：遍历顺序

重点：

1. 二维数组解法01背包与完全背包递推公式的区别：

   首先，二者的递推关系都是： 最大价值 = Math.max(不放物品 i 的最大价值 + 放物品 i 的最大价值);

   01背包每个物品只能添加一次，所以放物品 i的情况不考虑本层物品，依赖于上一层左侧的值:

   dp[j] = max(dp[i - 1][j], dp[i -1][j - weight[i]] + value[i]);

   完全背包每个物品能添加无数次，所以放物品 i的情况需要考虑本层物品，依赖于本层左侧的值:

   dp[j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j -weight[i]] + value[i]);

2. 一维数组解法01背包与完全背包遍历顺序的区别：由上面可知：01背包依赖于上层左侧，完全背包依赖于本层左侧；所以一维数组解法中，内层遍历背包需要从小到大遍历。

int main() {
    int n, sum;
    cin >> n >> sum;
    vector<int> v(n);
    vector<int> w(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> w[i] >> v[i];
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(sum + 1, 0));
    for (int i = w[0]; i <= sum; i++)
        dp[0][i] = v[0] + dp[0][i - w[0]];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= sum; j++) {
            if (j - w[i] >= 0)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);
            else
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
    cout << dp[n - 1][sum] << endl;

    return 0;
}

518. 零钱兑换 II

https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

提示：

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

分析：

• dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
• 动态规划方程：dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];

​ 不放物品i 放物品i

• 子问题：dp[0]=1,凑成总金额0的货币组合数为1

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
            for (int j = 0; j <= amount; j++) {
                if (j >= coins[i])
                    dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

这是例子的dp填表过程，为了方便自己以后看懂。