haoi2008木棍分割解题报告

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#单调队列 #动态规划

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单调队列

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本文介绍了一种使用二分查找结合动态规划的方法来解决木棍分割问题，旨在找到使得最大段长度最小的切割方案及其数量。文章详细解析了算法思路，包括如何通过二分查找确定最优解范围及利用单调队列优化动态规划过程。

【问题描述】

有n根木棍，第i根木棍的长度为Li，n根木棍依次连结在一起，总共有n-1个连接处．现在允许你最多砍断m个连接处，砍完后n根木棍被分成了很多段，要求满足总长度最大的一段长度最小，并且输出有多少种砍木棍的方法使得总长度最大的一段长度最小．

【输入格式】
输入文件第一行有2个数n，m
接下来n行每行一个正整数Li，表示第i根木棍的长度．

【输出格式】
输出有2个数，第一个数是总长度最大的一段的长度最小值，第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件．

对答案mod10007.

【输入样例】
3 2
1
1
10

【输出样例】
10 2

样例说明：两种砍的方法：(1)(1)(10)和(11)(10)

【数据范围】

n<=50000,0<=m<=min(n-1,1000)
1<=Li<=1000

题解：

最大值最小可以二分答案

第二问一开始一眼看成了组合数emmmmm

dp 令f[i][j]为前i段木棍砍j刀的方案数

那么显然f[i][j]=∑f[k][j-1] (sum[i]-sum[k]<=ans&&k<i)

转移用单调队列优化

这样时间复杂度O(n*m)

空间可以用滚动数组滚第二维(f[][j]只与f[][j-1]有关但第一维不是)

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <deque>
using namespace std;
const int maxn=50000+10;
const int MOD=10007;
int n,m;
int len[maxn],sum[maxn];
long long f[maxn][2];
deque<int>q;  
inline bool judge(int x){
	int summ=0,cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(len[i]>x)
			return false;
		if(summ+len[i]>x){
			summ=len[i];
			cnt++;
		}
		else summ+=len[i];
	}
	return cnt<=m;
}
inline long long dp(int x){
	int now=0;
	long long summ=0;
	long long ans=0;
	for(int j=0;j<=m;j++){
		summ=0;
		while(!q.empty())
			q.pop_front();
		if(j==0){
			for(int i=1;i<=n;i++)
				if(sum[i]<=x)
					f[i][now]=1;
		}
		else {
			for(int i=1;i<=n;i++){
				while(!q.empty()&&sum[i]-sum[q.front()]>x){
					summ-=f[q.front()][1-now];
					summ=(summ+MOD)%MOD;
					q.pop_front();
				}
				f[i][now]=summ;
				q.push_back(i);
				summ+=f[i][1-now];
				summ=(summ+MOD)%MOD;
			}
		}
		ans+=f[n][now];
		ans%=MOD;
		now=1-now;
	}
	return ans;
}
int main(){
	freopen("stick.in","r",stdin);
	freopen("stick.out","w",stdout);
	scanf("%d %d",&n,&m);
	int summ=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&len[i]);
		summ+=len[i];
		sum[i]=sum[i-1]+len[i];
	}
	int l=0,r=summ;
	while(l+1<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(judge(mid))
			r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	int ans;
	if(judge(l))
		ans=l;
	else ans=r;
	printf("%d\n%lld\n",ans,dp(ans));
return 0;
}