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最新推荐文章于 2025-10-12 16:43:55 发布

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概率与期望专栏收录该内容

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有一列 $n$ 个镜子，一个人走到第 $i$ 个镜子是快乐的概率是 $p [i]$ ,如果他快乐，那么他会走到下一个镜子，如果不快乐他会回到第 $1$ 个镜子，问他走完 $n$ 面镜子的期望步数.
令 $f [i]$ 为从第 $i$ 面镜子走完所有镜子的期望步数
所以 $f [i] = 1 + p [i] \cdot f [i] + 1 + (1 - p [i]) \cdot f [1]$
$f [1] = 1 + p [1] \cdot f [2] + (1 - p [1]) \cdot f [1]$
$f [2] = 1 + p [2] \cdot f [3] + (1 - p [2]) \cdot f [1]$
$\dots$
$f [n] = 1 + p [n] \cdot f [n] + 1 + (1 - p [n]) \cdot f [1]$
所以 $f [1] = 1 / (p [1] \cdot p [2] \cdot \dots \cdot p [n]) + 1 / (p [2] \cdot p [3] \cdot \dots \cdot p [n]) + \dots + 1 / (p [n])$
线性递推即可

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=200000+10;
const int MOD=998244353;
int p[maxn];
inline int inv(int x){
    int r=1,t=x,k=MOD-2;
    while(k){
        if(k&1) 
			r=1ll*r*t%MOD;
		t=1ll*t*t%MOD;
        k>>=1;
    }
    return r;
}
int main(){
	//freopen("a.in","r",stdin);
	//freopen("a.out","w",stdout);
    int n;
	scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&p[i]);
		p[i]=1ll*p[i]*inv(100)%MOD;
	}
    int a=1,b=0;
    for(int i=n;i>=1;i--){
        a=1ll*a*inv(p[i])%MOD;
		b=(b+a)%MOD;
    }
    printf("%d\n",b);
return 0;
}