决策树的初体验

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接下来是三种经典的决策树算法的学习过程：

Step1：信息熵与信息增益
信息熵(information_entropy)：是度量样本集合纯度最常用的一种指标，假定当前样本集合D中第k类样本所占的比例为pk(k=1,2,…,|y|),则D的信息熵定义为:

Ent(D)的值越小，则D的纯度越高。
假定离散属性a有V个可能的取值{ 这里写图片描述 }，若使用a来对样本集D进行划分，会产生V个分支结点，其中第v个分支节点包含了D中所有在属性a上取值为的样本，记为。通过信息熵公式可以计算出的信息熵，再考虑到不同的分支节点所包含的样本数不同，给分支节点赋予权重| 这里写图片描述 |/|D|,即样本数越多的分支节点的影响越大。于是，计算出用属性a样本集D进行划分所获得的“信息增益”(information_gain)：

一般而言，信息增益越大，则意味着使用属性a来进行划分所获得的“纯度提升”越大。因此，我们可以用信息增益来进行决策树的划分属性选择。ID3决策树学习算法就是以信息增益为准则来选择划分属性。

Step2：ID3算法的弊端以及改进
由信息熵以及信息增益的计算公式，不难知道，信息增益准则对可取值数目较多的属性有所偏好。当每个分支结点包含非常少甚至只有一个样本，这些分支节点的纯度达到最大。然而，这样的决策树不具有泛化能力，无法对新样本进行有效预测。比如，数据的“编号”的信息增益是最大的，但没实际意义。于是，著名的C4.5决策树算法出现了。

Step3:C4.5算法以及信息增益率
信息增益率的公式：
这里写图片描述 ,
其中

称为属性a的”固有值”。属性a的可能取值数目越多(即V越大)，IV(a)的值通常会越大。
需要注意的是：信息增益率准则对可取值数目较少的属性有所偏好。因此，C4.5算法并不是直接选择增一律最大的候选划分属性，而是使用了一个启发式：先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。

Step4：C4.5的优点
(1)可以处理连续值。
由于连续属性的可取值数目不再有限，因此，不能直接根据连续属性的可取值对结点进行划分。而C4.5可以实现将连续属性离散化：
给定样本集D和连续属性a，假定a在D上出现了V个不同的取值，将这些值进行排序，记为{ 这里写图片描述 }。基于划分点t可将D分为子集和。其中包含那些在属性a上取值不大于t的样本，而则包含那些在属性a上取值大于t的样本。显然，对相邻的属性和来说，t在区间中取任意值所产生的划分结果相同。因此，对连续属性，我们可以考察包含n-1个元素的候选划分点集合
这里写图片描述，即选择相邻的属性值的中位点作为划分点，以此选取最优划分点进行样本集合的划分。如下公式：

其中Gain(D,a,t)是样本集D基于划分点t二分后的信息增益。于是，我们就可以选择使Gain(D,a,t)最大化的划分点。需要注意的是，与离散属性不同，若当前结点划分属性为连续属性，该属性还可以作为其后代结点的划分属性。

(2)可以处理缺失值。在有缺失值的情况下，需要解决两个问题：
如何在属性值缺失的情况下进行划分属性选择？对于给定的训练集D和属性a，令这里写图片描述表示D中在属性a上没有缺失值的样本子集。显然，我们只能根据来判断属性a的优劣。这种情况对应的信息增益为：

其中，

直观地看，对属性a，表示无缺失值样本所占的比例，表示无缺失值样本中第k类所占的比例，这里写图片描述则表示无缺失值样本中在属性a上取值的样本所占的比例。
给定划分属性后，若样本在该属性上的值缺失，如何对样本进行划分？若样本x在划分属性a上的取值已知，则将x划入与其取值相对应的子结点，且样本权值在子结点中保持为这里写图片描述。若样本x在划分属性a上的取值未知，则将x同时划入所有子结点，且样本权值在与属性值对应的子结点中调整为。简单来说，就是让同一个样本以不同的概率划分到不同的子结点中。
(3)在决策树的构造过程中对树进行剪枝。采用Pessimistic Error Pruning(PEP，悲观剪枝）。

Step5:CART算法与基尼指数
Classification And Regression Tree，即分类回归树算法，简称CART算法。CART决策树采用“基尼指数”来选择划分属性，数据集D的纯度可用基尼值来度量：
这里写图片描述
直观来说，Gini(D)反映了从数据集D中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率。因此，Gini(D)越小，则数据集D的纯度越高。属性a的基尼指数的定义为：

因此，CART算法是在候选属性集合中，选择那个使得划分后基尼指数最小的属性作为最优划分属性。

Step6:为什么说CART是二叉树，而ID3和C4.5不是？
CART算法是一种二分递归分割技术，把当前样本划分为两个子样本，使得生成的每个非叶子结点都有两个分支，因此CART算法生成的决策树是结构简洁的二叉树。由于CART算法构成的是一个二叉树，它在每一步的决策时只能是“是”或者“否”，即使一个feature有多个取值，也是把数据分为两部分。而ID3和C4.5则不具备这个性质，因此不是二叉树。

Step7:CART算法的具体流程
CART处理连续属性的过程与C4.5类似，不过是选择划分后基尼指数最小的属性作为最优化分属性。处理离散属性时，需要依次把属性集划分为不重复的两类，然后同样选择划分后基尼指数最小的属性作为最优化分属性。举一个比较常见的例子，如下图所示：
这里写图片描述

图中，有房情况和婚姻状况是离散值，而年收入是连续值。
对于有无房子的离散属性的计算结果如下：
这里写图片描述

对于婚姻状况的离散属性的计算结果如下：
这里写图片描述

对于收入这一连续属性的计算结果如下：
这里写图片描述
最后，选择基尼指数最小的属性作为候选划分属性，并进行递归划分。

Step8:防止过拟合的常见方法：剪枝
将复杂的决策树进行简化的过程称为剪枝，它的目的是去掉一些节点，包括叶节点和中间节点。剪枝常用的方法有预剪枝和后剪枝两种。
(1)预剪枝的优缺点：预剪枝是在构建决策树的过程中，提前终止决策树的生长，从而避免过多的节点的产生。预剪枝使得决策树的很多分支没有“展开”，不仅降低了过拟合的风险，还显著减少了决策树的训练和测试的时间开销。但是，有些分支的当前划分虽不能提升泛化性能，甚至可能使泛化性能暂时降低，但是在其基础上进行的后续话跟却有可能使得泛化性能显著提升。即预剪枝容易达成局部最优解。
(2)后剪枝的优缺点：后剪枝就是在决策树构建完后再去掉一些节点，通常比预剪枝决策树保留更多的分支。其欠拟合风险小，泛化性能往往优于预剪枝决策树。但是其训练时间开销比未剪枝和预剪枝决策树要大得多。常见后剪枝方法有四种：悲观错误剪枝（PEP）、最小错误剪枝（MEP）、代价复杂度剪枝（CCP）和基于错误的剪枝（EBP）。
(3)C4.5采用Pessimistic Error Pruning(PEP，悲观剪枝）。该算法被认为是当前决策树后剪枝算法中精度比较高的算法之一，但是也有存在缺陷。首先，PEP算法是唯一使用Top-Down剪枝策略，这种策略会导致与先剪枝出现同样的问题，将该结点的某子节点不需要被剪枝时被剪掉；另外PEP方法会有剪枝失败的情况出现。
虽然PEP方法存在一些局限性，但是在实际应用中表现出了较高的精度,。另外，PEP方法不需要分离训练集合和验证集合，对于数据量比较少的情况比较有利。再者，其剪枝策略比其它方法相比效率更高，速度更快。因为在剪枝过程中，树中的每颗子树最多需要访问一次，在最坏的情况下，它的计算时间复杂度也只和非剪枝树的非叶子节点数目成线性关系。
4)CART算法使用了Cost-Complexity Pruning(CCP、代价复杂度)。。

参考资料：周志华_《机器学习》