[题解]codeforces 718c Sasha and Array

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#codeforces #题解 #线段树

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线段树

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矩阵乘法

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本文介绍了一种使用线段树解决区间加和区间查询斐波那契数列问题的方法。通过将斐波那契数列的转移矩阵作为线段树的标记，实现了高效的区间操作。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

题目大意：
给定一个长度为N的序列 ${A_n}$ ，要求支持区间加、区间求 $\sum f(A_i)$ ，其中 $f(i)$ 表示斐波那契数列第i项。
$N\leq 100000$

Solution

线段树，把斐波那契数列的转移矩阵作为标记，每次区间乘上转移矩阵的几次方即可。注意不能标记永久化，因为矩阵乘法不符合交换律。
代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

template<typename T>inline void read(T &x){
    T f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(x=0;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    x*=f;
}

typedef long long LL;
const int maxn=100010,mod=1000000007;
struct matrix{
    LL a[2][2];
    matrix(){memset(a,0,sizeof a);}
    matrix(LL x,LL y,LL p,LL q){
        a[0][0]=x;a[0][1]=y;
        a[1][0]=p;a[1][1]=q;
    }
    matrix operator*(const matrix b){
        matrix c;
        for(int i=0;i<=1;i++)
            for(int j=0;j<=1;j++)
                for(int k=0;k<=1;k++)
                    c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
        return c;
    }
    matrix operator+(const matrix b){
        matrix c;
        for(int i=0;i<=1;i++)
            for(int j=0;j<=1;j++)
                c.a[i][j]=(a[i][j]+b.a[i][j])%mod;
        return c;
    }
    matrix operator^(LL x){
        matrix c(1,0,0,1),a=*this;
        while(x){
            if(x&1)c=c*a;
            a=a*a;x>>=1;
        }
        return c;
    }
    bool operator==(const matrix b){
        return a[0][0]==b.a[0][0]&&a[0][1]==b.a[0][1]
                &&a[1][0]==b.a[1][0]&&a[1][1]==b.a[1][1];
    }
}orig(1,0,0,0),change(1,1,1,0),I(1,0,0,1);
struct Segment_Tree{
    #define lc x<<1
    #define rc x<<1|1
    int L[maxn<<2],R[maxn<<2];
    matrix tag[maxn<<2],sum[maxn<<2];
    void Build(int x,LL *a,int l,int r){
        L[x]=l;R[x]=r;tag[x]=I;
        if(l==r)return sum[x]=orig*(change^(a[l]-1)),void();
        int mid=(l+r)>>1;
        Build(lc,a,l,mid);Build(rc,a,mid+1,r);
        sum[x]=sum[lc]+sum[rc];
    }
    void pushdown(int x){
        if(tag[x]==I)return;
        tag[lc]=tag[lc]*tag[x];sum[lc]=sum[lc]*tag[x];
        tag[rc]=tag[rc]*tag[x];sum[rc]=sum[rc]*tag[x];
        tag[x]=I;
    }
    void Add(int x,int l,int r,matrix p){
        if(R[x]<l||L[x]>r)return;
        if(L[x]>=l&&R[x]<=r)return tag[x]=tag[x]*p,sum[x]=sum[x]*p,void();
        pushdown(x);
        Add(lc,l,r,p);Add(rc,l,r,p);
        sum[x]=sum[lc]+sum[rc];
    }
    LL Query(int x,int l,int r){
        if(R[x]<l||L[x]>r)return 0;
        if(L[x]>=l&&R[x]<=r)return sum[x].a[0][0];
        return pushdown(x),(Query(lc,l,r)+Query(rc,l,r))%mod;
    }
}tree;
int n,m;
LL a[maxn];

int main(){
    read(n);read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
    tree.Build(1,a,1,n);
    while(m--){
        int opt,l,r;LL x;
        read(opt);read(l);read(r);
        if(opt==1)read(x),tree.Add(1,l,r,change^x);
        else printf("%lld\n",tree.Query(1,l,r));
    }
    return 0;
}