自然数质数(筛法求质数)分解个数母函数方法初探.

最新推荐文章于 2023-10-26 19:55:30 发布

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#母函数 #筛法求素数 #分解质因数 #统计个数

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本文探讨了如何通过质数分解解决特定数学问题，并介绍了两种解决方案：直接搜索与母函数构造。通过构造母函数，文章详细展示了如何利用筛法找到指定范围内的所有质数，并给出了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

任何一个大于1的自然数n都可以携程都可以写成若干个大于等于2小于等于n的质数之和,并不只有一种形式.例如9就有四种形式.

9 = 2 + 5 +2 = 2 + 3 +2 +2 = 3 + 3 +3= 2+ 7

方法一:

直接进行搜索(输入限制很大).

方法二:

构造下列母函数.

G(x) = (1+x^2+x^4+x^6+.....x^(x/2)) (1+x^3+x^6+x^9+...x^(x/3))*.........

说明:

对于没一部分 x^m (1 = x^0) 第 i 部分则是选择第i个质数pirme[i]的个数

最后只需要求得x^n项的系数即可.

然而对于求多个质数则使用筛法来求.

对于一个素数i,其所有的倍数都不是素数,

使用该方法进需要将所有x<n/2 的所有质数的倍数排除,则剩下的 m < n m!=x为质数.

给出代码:

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
bool temp[201];
int  pol[201];
vector<int> prime;
int main(){
        int n;
        memset(temp,true,sizeof(temp));
        prime.clear();
        for(int i=2;i<=200;i++){
                if(temp[i]){
                        //printf("%d \n",i); 此处i是素数
                        prime.push_back(i);
                        for(int j=i*i;j<=200;j+=i){//所有i的倍数不是素数
                                temp[j]=false;
                        }
                }
        }
        return 0;
}

原问题的代码:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
bool temp[201];
int  pol[201];
vector<int> prime;
int main(){
        int n;
        memset(temp,true,sizeof(temp));
        prime.clear();
        for(int i=2;i<=200;i++){
                if(temp[i]){
                        //printf("%d \n",i);
                        prime.push_back(i);
                        for(int j=i*i;j<=200;j+=i){
                                temp[j]=false;
                        }
                }
        }
        scanf("%d",&n);
        memset(pol,0,sizeof(pol));
        pol[0]=1;
        for(int i=0;i < prime.size() && prime[i] <= n;i++){
                for(int j=n;j>=0;j--){
                        if(pol[j]){
                                for(int add=prime[i];add+j<=n;add+=prime[i]){
                                        pol[add+j] += pol[j];
                                }
                        }
                }
        }
        printf("%d\n",pol[n]);
        return 0;
}