同一向量空间的不同基具有相同的维度的一种证明

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基

基的维度

证明

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基

        某一向量空间中的基由一组线性独立的向量组成，且这组向量可以张成该向量空间，这就是基的定义。其中基中的向量，叫做基向量。

基的维度

        基中基向量的个数为基的维度。

        根据基的定义，我们无法得到向量空间中的基是唯一的，实际上，一个向量空间具有无数个基。但是目前为止，我们并不能很直接的得到不同基的维度是一样的，实际上不同的基的确具有相同的维度，这也使得基的维度成了向量空间的一个属性。

        当然，不同的基具有相同的维度，可以直接由Steiniz exchange lemma快速的推出，具体可以看博主的这篇文章《Steiniz exchange lemma》。        

本文旨在提供一种新的简单证明方法，去证明同一向量空间不同基具有相同的维度。

证明

        反证法，假设有两个基，第一组为，第二组为，且m>n。根据基的定义有：

接下来我们利用的线性独立性证明是线性相关的，从而得出矛盾，使得反证法生效。

因为中的基向量是线性独立的，故：

这里的形状是nxm，X的形状是mx1；且因为n>m，未知元的个数大于方程个数。同时因为该方程组是多元一次的齐次方程组，因此必然存在解。所以，该方程组存在无数组解，即存在非零解。因此，是线性相关的。与的线性独立性矛盾。

所以假设不成立，即必然有m=n。

综上，同一向量空间的不同基具有相同的维度。