数据结构与算法[LeetCode]—Permutation Sequence 求n个数的全排列中第K个序列

Permutation Sequence

 

The set [1,2,3,…,n] contains a total of n! unique permutations.

By listing and labeling all of the permutations in order,
We get the following sequence (ie, for n = 3):

1. "123"
2. "132"
3. "213"
4. "231"
5. "312"
6. "321"

Given n and k, return the k^th permutation sequence.

Note: Given n will be between 1 and 9 inclusive.

思路1：可以借鉴并调用先前的Next Permutation的方法，求第K个序列，那么从第一个序列开始，调用K-1次Next Permutation。但是这显然不是题意想要的。
思路2：采用“康托展开的方法”：全排列的编码与解码

 一、康托展开：全排列到一个自然数的双射
X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!
ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)
适用范围：没有重复元素的全排列

二、全排列的编码：
{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？
如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。
这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32
的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。（注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1）

三、全排列的解码
如何找出第16个（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？
1. 首先用16-1得到15 
2. 用15去除4! 得到0余15     注：除的是下一位n-1的阶乘
3. 用15去除3! 得到2余3 
4. 用3去除2! 得到1余1 
5. 用1去除1! 得到1余0 
有0个数比它小的数是1，所以第一位是1 
有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4 
有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3 
有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5 
最后一个数只能是2
所以排列为1 4 3 5 2

本题代码：

class Solution{
public:
    string getPermutation(int n,int k){
        string s(n,'0');
        int temp=k-1;

        int *bit=(int *)malloc((n+1)*sizeof(int));  //用来记录哪些值已经被使用
        for(int i=0;i<n+1;i++)bit[i]=1;   //将所有位置1
         
        int len=n;
         while(n){
         int t=temp/Fac(n-1);  //在第len-n+1位上有t个数比它小。
         temp=temp%Fac(n-1);   
         
         int value=t+1;  //有t个数比它小的是value=t+1;

         //但是需要排除之前出现过的数
         int i=1;
         while(t+1){
             if(bit[i++]==0){      //判断第i位是否为1，为1表示没有被使用
                 value++;          //遇到之前有一个被使用的，value后移一个
                 continue;
             }
             t--;    
         }

         bit[value]=0;          //该位的数将被使用，置0
         s[len-n]=value+'0';   //第len-n+1位上的值 应该是"i+1"
          --n;
        }
        free(bit);
        return s;
    }
private:
   int Fac(int n){     //求阶乘
       int ret=1;
       for(int i=1;i<=n;++i)ret*=i;
        return ret;
   }
};