权值线段树算法讲解及例题

算法思想

普通的线段树一般是求区间之和或区间最值，所以这些线段树的每个节点的下标是原数组中的区间范围，每个节点存的是区间和或最值，而权值线段树的每个节点的下标是数组中元素的值，而权值线段树每个节点存的是当前元素出现的次数。
但是题目的数据可能很大，元素可能是-$10^9$ ~ $10^9$，所以这时候就有两个选择，离散化或者是动态开点。

动态开点

动态开点，顾名思义，就是可以自主增加节点，避免空间的浪费，并且可缓解下标的压力，但是这样数组依旧要开很大，$10^7$。
动态开点的思路大概如下：
类似二叉搜索树，将数组中的元素依次插入权值线段树中。
我们将要插入的点称为$x$。

• 每次插入时，如果$x$大于现在这个点的值，那么x就往右边遍历，否则就往左边继续遍历。

当下边没有点的时候，就开一个新的点，后面的点如上操作即可。

离散化

当然还有第二种方法，离散化。
在开始建树之前对原数组的值进行离散化，在线段树中操作时，因为经过了离散化，所以最大的值最多也只有元素个个数那么大，所以就可以写不同线段树就行了。
当然，最后查询的时候要输出原数组对应的值（离散化后存的是数组的下标）

例题1

P1908 逆序对
这道题我用的是动态开点完成，在原数组输入的时候在update函数对现在贡献的逆序对进行记录，并同时将当前的元素加入线段树中，在查询并累加贡献和。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;//由于数组要开1e7，所以define int long long会MLE
const int N=1e7+5;//1到1e9的遍历，数组要开大点
//快读快写好习惯
ll read(){
	ll x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(ll x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n;
int lc[N],rc[N];
int f[N];
int idx;
int rt;
void update(int &p,int l,int r,int x){
	if(!p)p=++idx;//新开一个点
	if(l==r){
		f[p]++;//记录当前贡献出的逆序对
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid)update(lc[p],l,mid,x);
	else update(rc[p],mid+1,r,x);
	f[p]=f[lc[p]]+f[rc[p]];
}
ll query(int p,int l,int r,int x){
	if(!p)return 0ll;//动态开点
	if(l>x)return (ll)f[p];
	int mid=l+r>>1;
	ll res=0;
	if(x<=mid)res+=query(lc[p],l,mid,x);
	res+=query(rc[p],mid+1,r,x);
	return res;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	n=read();
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=read();
		update(rt,1,1e9,x);
		ans+=query(1,1,1e9,x);//累加和
	}
	print(ans);
}

例题2

CF69E Subsegments

因为这道题数据范围是-$1e9$ ~ $1e9$，出现了负数，所以我用了离散化。

for(int i=1;i<=n;i++)q[i]=a[i]=read();
sort(q+1,q+1+n);
m=unique(q+1,q+1+n)-q-1;
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(q+1,q+1+m,a[i])-q;

由于是要找到唯一最大值，所以我们需要对数的出现次数进行记录。
计算答案时，必须要当前点的出现次数为$1$时才更新，不是$1$就立即清空。
然后这个区间，我们就先把$1$ ~ $k$$-1$的元素先加入线段树中，然后循环$k$ ~ $n$，先加入当前元素，计算结果，再删除第一个元素，格式类似于滑动窗口。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e6+5;
int rt;
//快读快写好习惯
ll read(){
	ll x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(ll x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n,m,k;
int f[N],sum[N];
int a[N];
int q[N];
int idx;
void update(int p,int l,int r,int x,int o){
	if(l==r){
		sum[p]+=o;
		if(sum[p]==1){//如果只出现了一次就记录
			f[p]=l;
		}
		else{//否则清空
			f[p]=0;
		}
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid)update(p<<1,l,mid,x,o);
	else update(p<<1|1,mid+1,r,x,o);
	f[p]=max(f[p<<1],f[p<<1|1]);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	n=read(),k=read();
	//离散化
	for(int i=1;i<=n;i++)q[i]=a[i]=read();
	sort(q+1,q+1+n);
	m=unique(q+1,q+1+n)-q-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(q+1,q+1+m,a[i])-q;
	for(int i=1;i<k;i++)update(1,1,m,a[i],1);
	int ppp=0;
	for(int i=k;i<=n;i++){
		update(1,1,m,a[i],1);//加入
		int ans=f[1];
		if(ans)print(q[ans]),putchar('\n');
		else putchar('N'),putchar('o'),putchar('t'),putchar('h'),putchar('i'),putchar('n'),putchar('g'),putchar('\n');
		update(1,1,m,a[++ppp],-1);//删除
	}
}