【数学扩展欧拉定理】luogu_5091 欧拉定理

最新推荐文章于 2025-08-06 20:04:44 发布

nymph181

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分类专栏：数学文章标签：数学扩展欧拉定理

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本文介绍如何使用扩展欧拉定理解决大数幂取模问题，提供了一种有效的方法来避免直接计算大数幂，通过代码实现展示了算法的具体应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

求 $a^b\ mod\ m$

思路

因为 $b$ 很大所以不能直接算，这要用到扩展欧拉定理：
当 $\in \mathbb{Z}$ 时有：
$,b≥φ(m)a^{b}\equiv \left\{\begin{matrix} a^b\ ,b< \varphi(m)\\ a^{b\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}\ ,b\geq \varphi(m) \end{matrix}\right.$

代码

#include<cstdio>

long long a, m, b, phi, f, p;

int power(int a, int b) {
	long long res = 1;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) res = res * a % p;
		a = (long long)a * a % p;
	}
	return res;
}

int main() {
	scanf("%d %d", &a, &m);
	phi = p = m;
	for (int i = 2; i * i <= m; i++) {
		if (m % i) continue;
		phi = phi / i * (i - 1);
		while (m % i == 0) m /= i;
	}
	if (m > 1) phi = phi / m * (m - 1);
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		b = b * 10 + c - 48;
		if (b >= phi) b %= phi, f = 1;
		c = getchar();
	}
	if (f) b += phi;
	printf("%d", power(a, b));
}