【luogu_P5253】丢番图

最新推荐文章于 2025-09-06 19:20:40 发布

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这篇博客探讨了丢番图方程的解题思路，通过数学推导展示了如何将问题转化为质因数分解，从而找到唯一对应解。代码实现中，博主使用了循环和质因数分解来求解，特别地，当n为质数时，解的数量会翻倍。此篇内容适合对数论和算法感兴趣的读者。

丢番图

题目链接：丢番图

在这里插入图片描述

解题思路

先推一下式子：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$ $\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n}$ $n x + n y = x y$ $n x + n y - x y = 0$ $nx+ny-xy+n^2=n^2$ $x-n)(y-n)=n^2$
显然，每一个 $(x - n)$ 都有一个唯一的 $(y - n)$ 与其对应。

那么我们就可以分解质因数，累乘一下即可。

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;

int n;
int ans=1;

signed main()
{
	cin>>n;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		int s=0;
		while(n%i==0)
			n/=i,s++;
		ans*=s*2+1;
	}
	if(n>1)
		ans*=3;
	cout<<(ans+1)/2<<endl;
}