【JZOJ6296】投票【期望概率】【dp】

题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/6296
第$i$个人有$p_i$的概率会选择1，否则选择0。求在$n$个人中选择$m$个，1和0的个数相等的期望。

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思路：

$30pts$

$O(3^n)$暴力搜索每一个人是不选，选1还是选0。用状压记录每一种选择方案的概率。
空间复杂度$O(2^n)$。
好像$O(4^n)$还可以拿$40pts$。
代码$Link$

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$100pts$

将$p_i$排序，如果此时最有方案中存在一个选择的人，他左右均有人且都没有被选择，那么固定其他选择的人，在剩余的人中选择，期望一定为一个一次函数。所以这个人肯定王左或往右会更优。
所以设$f[i][j]$表示在$[1,i]$中选择$j$个人选择1，$g[i][j]$表示在$[i,n]$中选择$j$个人选择1。
以$f$为例，如果这一个位置选择0，那么$f[i][j]=f[i-1][j-1]\times (1-p[i])$，如果这一个位置选择1，那么$f[i][j]=f[i-1][j-1]\times p[i]$。
所以方程就是
$$f[i][j]=f[i-1][j]\times (1-p[i])+f[i-1][j-1]\times p[i]$$
最后枚举前面选多少人，以及前面几个人选1，计算一下答案即可。
时间复杂度$O(nm)$

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代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=2010;
double p[N],f[N][N],g[N][N],ans,maxn;
int n,m;

int main()
{
	freopen("vote.in","r",stdin);
	freopen("vote.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf",&p[i]);
	sort(p+1,p+1+n);
	f[0][0]=g[n+1][0]=1.0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=0;j<=m;j++)
		{
			if (!j) f[i][j]=f[i-1][j]*(1-p[i]);
			f[i][j]=f[i-1][j]*(1-p[i])+f[i-1][j-1]*p[i];
		}
	for (int i=n;i>=1;i--)
		for (int j=0;j<=m;j++)
		{
			if (!j) g[i][j]=g[i+1][j]*(1-p[i]);
			g[i][j]=g[i+1][j]*(1-p[i])+g[i+1][j-1]*p[i];
		}
	for (int i=0;i<=m;i++)
	{
		ans=0.0;
		for (int j=0;j<=m/2;j++)
			ans+=f[i][j]*g[n-m+i+1][m/2-j];
		if (ans>maxn) maxn=ans;
	}
	printf("%0.8lf",maxn);
	return 0;
}