【BZOJ2721】【洛谷P1145】樱花【数论，数学】

题目大意：

题目链接：

BZOJ：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2721
洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1445

求方程 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}$ 的正整数解的组数

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思路：

神题啊$orz$

以下内容大部分摘自 这里

先通分
$$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}$$
交叉相乘
$$(x+y)n!=xy$$
移项得
$$-(x+y)n!+xy=0$$
配方
$$(n!{)}^2-(x+y)n!+xy=(n!{)}^2$$
$$(x-n!)(y-n!)=(n!{)}^2$$
令$a=(x-n!),b=(y-n!)$
$$ab=(n!{)}^2$$
由于$n!=p_1^{c1}\times p_2^{c2}\times ...\times p_m^{cm}$，所以$(n!{)}^2=p_1^{2c1}\times p_2^{2c2}\times ...\times p_m^{2cm}$
所以总共$a$的取值就是$(2c_1+1)(2c_2+1)...(2c_m+1)$
枚举$1\sim n$，把每个数字分解质因数就可以求出答案了。

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代码：

#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MOD=1e9+7,N=1e6+10;
int n,prime[N],m,v[N];
ll cnt[N],ans;

void find_prime(int k)
{
	for (rr int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!v[i])
		{
			v[i]=i;
			prime[++m]=i;
		}
		for (rr int j=1;j<=m;j++)
		{
			if (prime[j]>v[i]||prime[j]*i>n) break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	find_prime(n);
	for (rr int i=1;i<=n;i++)
		for(rr int j=i;j!=1;j/=v[j])
          cnt[v[j]]++;
	ans=1;
	for (rr int i=1;i<=m;i++)
		ans=(ans*(cnt[prime[i]]*2+1))%MOD;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}