【JZOJ3170】挑选玩具【分治】

题目大意:

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/3170
有$n$个箱子装着$m$个玩具（一个玩具可以在多个箱子内），求有多少种选择箱子的方案使得每种玩具至少有一个。

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思路：

设$f[i]$表示${\sum }_S^{}1(S\&i=S)$，也就是选择其中一些箱子，会得到一个玩具集合$S$（状压后），如果$i$完全包含$S$，$f[i]$就加一。
那么$f[MAXN-1-i]$就是没有一个玩具在集合$i$中的方案数。
显然答案就是
$$\sum _S-1^{|S|}\times (2^{f[MAXN-1-i]}-1)$$
对于求$f$，可以考虑使用分治。
显然$f[i]\&f[i+mid]=f[i]$，因为若$f[i]$是$abcd$，则$f[i+mid]$是$1abcd$
这样时间复杂度就降到了$O(2^m\log 2^m)$。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1000010,MOD=1e9+7,M=(1<<20)+10;
int n,m,ans,MAXN,cnt[M],f[M],power[N];

void work(int l,int r)
{
	if (l==r)
	{
		f[l]=cnt[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	work(l,mid);
	work(mid+1,r);
	for (int i=l;i<=mid;i++)
		f[i-l+mid+1]+=f[i]; 
}

int main()
{
	freopen("data","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	MAXN=(1<<m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{	
		int sum,x,S=0;
		scanf("%d",&sum);
		while (sum--)
		{
			scanf("%d",&x);
			S|=(1<<x-1);
		}
		cnt[S]++;
	}
	work(0,MAXN-1);
	power[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++) power[i]=power[i-1]*2%MOD;
	cnt[0]=1;
	for (int i=0;i<MAXN;i++)
	{
		if (i&1) cnt[i]=-cnt[i>>1];
			else cnt[i]=cnt[i>>1];
		ans=(ans+cnt[i]*(power[f[MAXN-1-i]]-1)%MOD)%MOD;
	} 
	printf("%d\n",(ans%MOD+MOD)%MOD);
	return 0;
}