【JZOJ5458】质数【数论，数学】

最新推荐文章于 2019-07-13 16:10:16 发布

原创最新推荐文章于 2019-07-13 16:10:16 发布 · 234 阅读

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#JZOJ #SSLOJ #数论 #数学

本文介绍了一种高效的算法，用于筛选出指定范围内的质数和两个质数的乘积。通过线性筛法预处理最大为10^7的所有质数及其最小质因数，实现了快速查询区间内符合条件的数的个数。算法复杂度为O(R)，适用于大量查询场景。

题目大意:

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/5458
题目图片：
http://wx4.sinaimg.cn/mw690/0060lm7Tly1fweob4u4hmj30j50ba0t1.jpg
http://wx3.sinaimg.cn/mw690/0060lm7Tly1fweob4u5lfj30jp0gr3yu.jpg
http://wx2.sinaimg.cn/mw690/0060lm7Tly1fweob4unxlj30ji0fqjsx.jpg

求 $L$ 到 $R$ 中是质数或是两个质数之积的数的个数。

思路：

首先，观察最大数据：
$L\leq R\leq 10^7,Q\leq 10^5$
那么肯定是要离线做的。
肯定是要先筛质数，那么就用线性筛，不仅得到 $1$ 到 $R$ 之间的质数，还得到了每个数的最小质因数
那么对于一个数 $x$

如果它是质数，那么就很明显 $a n s + +$
如果它不是质数：
- 我们知道了这个数的最小质因数 $v [x]$ ，那么如果它符合题目的要求就必然有 $x=prime[i]\times prime[j]$ 。我们又知道 $v [x] ∣ x$ 且是质数，所以说，如果要符合题意，就有 $x=v[x]\times prime[j]$ ，即 $prime[j]=x\div v[x]$ 。所以说，如果 $x\div v[x]$ 是质数，那么就 $a n s + +$
- 否则不合法。

那么我们可以求出前缀和 $s$ ， $s [i]$ 表示 $1$ 到 $R$ 中间有多少符合要求的数。然后 $O (1)$ 回答即可。
时间复杂度： $O(10^7)$ （固定值，其实是 $O (R)$ ）

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 10000100
#define MAXN 10000000
#define ll long long
using namespace std;

int sum,v[N],prime[N],s[N],l,r,n;
bool isp[N];

int f;
char c;

int read()  //输入流
{
	c=getchar();
	f=0;
	while (c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while (c>='0'&&c<='9') 
	{
		f=f*10+(c-'0');
		c=getchar();
	}
	return f;
}

int write(int x)  //输出流
{
	if (x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}

void find()
{
	for (int i=2;i<=MAXN;i++)  //线性筛
	{
		if (!v[i])
		{
			v[i]=i;
			prime[++sum]=i;
			isp[i]=1;
		}
		for (int j=1;j<=sum;j++)
		{
			if (prime[j]>MAXN/i) break;
			if (prime[j]>v[i]) break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
		}
	}
	for (int i=2;i<=MAXN;i++)
	 if (isp[i]||isp[i/v[i]])  //符合要求
	  s[i]=s[i-1]+1;
	 else s[i]=s[i-1];
}

int main()
{
	find();
	n=read();
	while (n--)
	{
		l=read();
		r=read();
		write(s[r]-s[l-1]);
		putchar(10);
	}
	return 0;
}