【JZOJ3920】噪音【dp】

题目：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/3920
FJ有M个牛棚，编号1至M，刚开始所有牛棚都是空的。FJ有N头牛，编号1至N，这N头牛按照编号从小到大依次排队走进牛棚，每一天只有一头奶牛走进牛棚。第i头奶牛选择走进第p[i]个牛棚。由于奶牛是群体动物，所以每当一头奶牛x进入牛棚y之后，牛棚y里的所有奶牛们都会喊一声“欢迎欢迎，热烈欢迎”，由于声音很大，所以产生噪音，产生噪音的大小等于该牛棚里所有奶牛（包括刚进去的奶牛x在内)的数量。FJ很讨厌噪音，所以FJ决定最多可以使用K次“清空”操作，每次“清空”操作就是选择一个牛棚，把该牛棚里所有奶牛都清理出去，那些奶牛永远消失。“清空”操作只能在噪音产生后执行。现在的问题是：FJ应该选择如何执行“清空”操作，才能使得所有奶牛进入牛棚后所产生的噪音总和最小？

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思路：

我们发现，不同牛棚之间是互不相干的，而牛的先后顺序也是无关的。所以可以大胆猜想时间复杂度与n无关
我们记录进入每一个牛棚的牛的数量，设$f[i][j]$表示前$i$个牛棚，用了$j$次清空的最小噪音。
那么再枚举这一个牛棚清除噪音次数$k$，那么显然把这$k+1$段平均分配会最优。
那么维护一下等差数列就好了。
时间复杂度$O(m{k}^2)$

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=110,M=510;
int n,m,t;
ll ans,f[N][M],cnt[N];

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
	for (int i=1,x;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		cnt[x]++;
	}
	f[0][0]=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
		for (int j=0;j<=t;j++)
		{
			f[i][j]=f[i-1][j]+(1+cnt[i])*cnt[i]/2;
			for (int k=1;k<=min((ll)j,cnt[i]-1);k++)
			{
				ll r=(cnt[i]-1)/(k+1),rr=(cnt[i]-1)%(k+1)+1;
				ll s=(1+r)*r/2*(k+1)+rr*(r+1);
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-k]+s);
			}
		}
	ans=1e17;
	for (int i=0;i<=t;i++)
		ans=min(ans,f[m][i]);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}