jzoj3084. 超级变变变（B组——Day5）

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本文探讨了一种特殊的数学问题，即寻找在一定范围内满足特定变化规律的k变变数。通过定义一次变化为x=f(x)，文章介绍了两种解决方法：一种是直接迭代检查，适用于部分数据集；另一种则是基于二进制表示的巧妙算法，能高效解决问题，期望得分为100%。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

jzoj3084. 超级变变变（B组——Day5）

题目

Description

经过一系列的游戏之后，你终于迎来了今天的作业，第一个作业是预习一个超级美好的函数f(x),描述如下：

在这里插入图片描述
为了研究这个函数的性质，你决定定义一次变化为x=f(x)。
若x就经过若干次变化为k，则你就会觉得这是一个k变变数。
现在既然你已经这么觉得了，那就只好给定A,B,求有多少个A<=x<=B是k变变数了。

Input

输入包含三行。
第一行为一个整数k。
第二行为一个整数A。
第三行为一个整数B。

Output

输出仅一行，表示答案。

Sample Input

Sample Input 1

13
12345
67890123

Sample Input2

1
234567
1234567

Sample Output

Sample Output1

8387584

Sample Output2

1000001

Hint

对于50%的数据，0<=k,A,B<=10^6
对于100%的数据，0<=k,A,B<=10^18 A<=B

解析

方法一：

~~推一下可以发现一些奇妙的东西~~
如k=13时：
x可以等于
13
26 27
52 53 54 55
104 105 106 107 108 109 110 111
…

用一个while，判断一下2ⁱk~~~2ⁱk+2ⁱn是否在A~B的区间内，然后累加即可。 （要特判k=0） 考试时没判只拿了80分QWQ

方法二：

经过推导，我们可以轻易地发现函数f(x)的性质，就是每次都会把二进制的最后一位去掉或变成0.对二进制为前面的数字是没有影响的。
所以我们如果要得到k，则二进制表示的前缀（与k等长的前缀）必须是k或者k+1(若k为偶数)。则我们可以枚举数字的二进制长度，答案为[k]00…0~[kk]11.1,以上为二进制表示.
[k]为k的二进制表示，[kk]为k的二进制表示或k+1的二进制表示(若k为偶数)
这比较难以理解，举个例子：
若k为2，二进制表示为10，那可以得到2的数字为[10,11]U[100,111]U[1000,1111]…
若k为5，二进制表示为101，那为[101,101]U[1010,1011]U[10100,10111]….
对于每个区间看看有多少数字在[A,B]内就可以了。
期望得分100%。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long a,b,k,ans,n;

int main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&k,&a,&b);
	if (k==0) {
		k=1;
		ans=1;
	}
	if (k%2==1) n=1;
		else n=2;
	do{
		if (b<k) break;
		if (a<k+n && a>k) 
			if (b>k+n) ans+=k+n-a;
				else ans+=a-b+1;
		if (a<=k && b>=k+n) ans+=n;
		if (a<=k && b<k+n) ans+=b-k+1;
		k=k*2;
		n=n*2;
	} while(k/2+n/2<b);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}