荒岛野人

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本文探讨了一种算法，旨在确定克里特岛上野人和平共处所需的最少山洞数量。通过分析野人移动规律及寿命，利用扩展欧几里得算法解决线性同余方程组，确保任意两野人在其寿命内不相遇。

题目

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？这里写图片描述

分析

从小枚举m，判断是否成立。至于判断，就一一枚举两个人，看是否会打架。如果会在第x年打架，那么设这两个人为i，j，就会满足
Ci+Pi*x≡Cj+Pj*x(%m)
Ci+Pi*x-Cj-Pj*x=my
(Pi-Pj)x-my=Cj-Ci
设(Pi-Pj)=a，-m=b，Cj-Ci=c，就得到ax+by=c，只要是在0~Min(Li,Lj)之间有整数解，就会打架。然后就要用扩展gcd来解方程了。

程序

#include<iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,c[100],p[100],l[100];
bool b;
int gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int q=gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}
bool pd(int x,int i,int j)
{
    b=true;
    if (x<=min(l[i],l[j])) {
        b=false;
        return false;
    }
    return true;
}
int main(){
    cin>>n;
    int maxn=0;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        cin>>c[i]>>p[i]>>l[i];
        maxn=max(maxn,c[i]);
    }
    if (n==1){
        cout<<1<<endl;
        return 0;
    }
    while (true){
        b=true;
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=i+1;j<=n;j++){
                int x,y,aa=p[i]-p[j],cc=c[j]-c[i],d=gcd(aa,maxn,x,y);
                if (cc%d) continue;
                int m=(x*cc/d)%(maxn/d);
                if (m<0) m+=abs(maxn/d);
                if (!pd(m,i,j)) break;
            }
            if (!b) break;
        }
        if (b){
            cout<<maxn<<endl;
            return 0;
        }
        maxn++;
    }
}