20170225#cs231n#3.最优化问题

Optimization:Stochastic Gradient Descent

Optimization是寻找一个$W$使得LossFunction最小化的过程

SVMcostFunction就是一个convex function（凸函数），然后这就涉及到了 ConvexOptimization（凸优化）
但是神经网络的代价函数就是non-convex的了

然后会有很多lossfunction是Non-differentiable 不可导的，（例如最大值函数）。这个时候我们使用subgradient次梯度和gradient梯度交替结合的方法

　Optimization最优化问题

核心在于利用梯度下降，有两种计算梯度的方法

• analytic gradient解析梯度 $$\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$
  
  • 解析梯度算法的速度快结果精确但是实现的时候容易出错
  • numerical gradient数值梯度(近似解) $$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$
    
    • 上式称为中心差值公式(centered difference formula),h的值特别小(例如1e-5),
    • 中心差值公式的结果误差比较小，看wiki
    • 数值梯度算法速度慢但是实现简单

  • csdn-DeepLearning梯度检验
    优快云-cs231-最优化问题

    其他关于数值梯度下降的东西可以看之前的Courseraweek1-3笔记，cs231n和Coursera大同小异
    计算数值梯度的复杂性和参数的量线性相关，现代的NeuralNetwork经常有上千万个参数，所以数值梯度的方法其实效率很低，我们需要更好的办法

    用微积分的方法计算解析梯度
    数值梯度有个明显缺点就是它是个近似值，但是由于实现起来简单所以结果收敛到全局最优一般没有太大问题

    不过解析梯度计算效率很高，但实现起来并不简单所以容易出错

    因此我们经常计算出解析梯度analytic gradient的值之后和数值梯度numerical gradient的值进行对比，check一下结果，来检查我们的解析梯度analytic gradient实现是否正确

    这个过程称之为Gradient Check

    Gradient Descent 梯度下降

    梯度下降是对神经网络的LossFunction最优化中最常用的方法

    Mini-batch gradient descent小批量梯度下降

    它运行得比较好的原因在于效率高，小批量的梯度其实就是对整个数据集梯度的近似，而由于数量较少所以运算速率较高，所以收敛得更快

    Stochastic Gradient Descent (SGD) 随机梯度下降

    这就是一个mini-batch中只有1个数据的情况
    有时候也称为on-line gradient descent在线梯度下降，但是随机梯度下降在实际中几乎没有人用。不过经常还是有人用SGD来去指代mini-batch gradient descent（或者用MGD指代）

    一个mini-batch的size虽然是一个超参数，但其实一般不会用交叉验证来调参。这个size经常是决定于存储器的限制，或者就是直接使用32,64,128等
    在实际中size的大小一般为2的n次幂。因为当输入的大小是 powers of 2 的时候，很多向量化操作实现会运算的更快一些

    
    mini-batch的lossfuction与迭代次数图像会有很大的噪声但最后的趋势仍然是下降的。如果是Full-batch的话lossfunction与迭代次数的图像会是平滑的