动态规划之数塔问题...

    这么简单的DP问题就不要再讲了吧...无奈楼翰诚大佬的数塔问题是在没讲清楚，也只好自己写一个...

    数塔问题嘛...已经有很多大佬讲过了，比如这位令人熟悉的大佬

BUT!

    实际上关于这种从下往上的DP其实对于这道题完全可以从上往下DP...

给张图：                                           

    各位大佬们的想法是从下往上逆流而上DP，然而实际上对于这道题目，完全可以用刷表/填表的形式非转换顺序来进行DP。

那我们先来介绍刷表：

    刷表，又称顺推，顾名思义，就是把整个DP过程全部一遍刷下来，f[i][j]表示经过第i行第j列数字的路径所能获得的最大值。

    然后我们开始考虑决策。

    刷表的决策在于：从我这个点，可以去到哪里。

    所以，对于任何一个点，譬如：上图“6”这个点，从那个点，可以去到“18”点和“9”点，也就是说，f[3][2]这个点，可以去到f[4][2]这个点和f[4][3]这个点，同理f[4][2]可以去到f[5][2]和f[5][3]即“7”点和“10”点，由此我们可以得出，从f[i][j]这个点，我们可以去到f[i+1][j]和f[i+1][j+1]两个点。

    由此，我们可以得出我们的刷表方程：

//数塔问题（刷表/顺推）【非转移状态】
f[i+1][j]=max(f[i+1][j]/*以前给它的值*/,f[i][j]+a[i][j]/*现在给它的值*/);
f[i+1][j+1]=max(f[i+1][j+1],f[i][j]+a[i][j]);//同理

    但是，由于没有转移过，所以要最后一行扫一遍（代码不给出）。

那我们接下来介绍填表：

    填表，又称逆推，顾名思义，就是把整个过程由结果想到过程，f[i][j]表示经过第i行第j列数字的路径所能获得的最大值。

    然后我们开始考虑决策：

    填表的决策在于：从哪个点出发，可以到达我这里。

    所以，对于任何一个点，譬如：“6”这个点，可以从“12”点和“15”点分别到达，也就是说，f[3][2]这个点，可以由f[2][2]这个点和f[2][1]这个点到达，同理，f[4][2]即“18”点可以由f[3][1]和f[3][2]即“10”点和“6”点分别到达，由此我们可以得出，f[i][j]这个点，可以由f[i-1][j]和f[i-1][j-1]两点分别到达。

    ATTENTION:

    对于这道题目，非转移顺序的填表方法是有一定问题的，譬如：对于f[3][1]即“10”点，本来应由f[2][0]和f[2][1]两点分别更新，但是f[2][0]这个点不存在，同理f[3][3]即“8”点，本应由f[2][2]和f[2][3]两点分别更新，但是f[2][3]这个点不存在，所以对于这道题，非转移顺序的填表方法，需要进行特别赋初值：

        代码如下：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	f[i][1]=f[i-1][1]+a[i][1];
	f[i][i]=f[i-1][i-1]+a[i][i];
}    

            也就是说，对于任何一个f[i][1]点（即每一行的第一个点），仅仅可能由f[i-1][1]点（即上一行的第一个点）更新，同理f[i][i]（即每行的最后一个点），仅仅可能由f[i-1][j-1]点（即上一行的最后一个点）更新。

    初值赋完后，我们来看看我们的转移方程：

for(int i=1;i<=n;i++)
  for(int j=1;j<=i;j++)
     f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j];

    不知道各位和上面的刷表方式有没有发现不同，刷表的方程是max(f[i+1][j],f[i][j]+a[i][j])，是将原来给的值与后来给的值进行比较，而填表则是在原来的两个可以到达我这个点的值取优再加上我本身，虽然方法不同，但实际上是一样的。

接下来我们来看一个很重要的也就是转移顺序：

    转移顺序，也就是把方程的顺序进行转移，用更通俗易懂的方式，就是将for语句换一个顺序扫，对于这道题目，我们的转移顺序就是：将顺序自下而上找，这样最后的一个for语句就可以省掉（答案就是f[1][1]）。

    至于转移后，我们的顺推和逆推方式也同样发生了改变：

    ·顺推的情况与原来非转移顺序的逆推有点相似，它同样需要赋初值，但因为这种方法不提倡（你直接非转移地顺推不就好了），所以不讲。

    ·逆推的情况则比原来的好，因为它不需要考虑是否只有一个点可以到达我这个点，所以逆推的代码相对原来也就省去了初始化，相对简单：

for(int i=1;i<=n;i++)
   f[n][i]=a[n][i];//必要的初始化不能少
for(int i=n-1;i;i--)
  for(int j=1;j<i;j++)
   f[i][j]=max(f[i+1][j+1],f[i+1][j])+a[i][j]);
ans=f[1][1];

    由此来看，对于每一道DP题目，几乎都可以用刷表和填表两种方法进行解决，至于哪一个更为简单，则需要多多刷题，多多思考。

    最后，送大家一句话：

    不要问我从哪里来，不要问我到哪里去，不要问我我是谁，我就是f数组~