介绍的是Cholesky分解,这个方法是只适用于厄米特矩阵、正定矩阵定义的矩阵
算法的目标
假设A是一个n阶的厄米特正定矩阵
Cholesky分解的目标是将A变成:
A=LLTA=LLT
L是一个下三角矩阵
推导:
因为A是一个对称的矩阵,A为:
A=[a11A21AT21A22]A=[a11A21TA21A22]
此时A21A21是一个n-1列向量;AT21A21T是一个n-1行向量
此时对于下三角矩阵L:
L=[l11L210L22]L=[l110L21L22]
则:
LT=[l110LT21LT22]LT=[l11L21T0L22T]
由A=LLTA=LLT,得到:
[a11A21AT21A22]=[l211l11L21l11LT21L21LT21+L22LT22][a11A21TA21A22]=[l112l11L21Tl11L21L21L21T+L22L22T]
则对于l11,L21,L22l11,L21,L22的求解为:
l11=a11−−−√l11=a11
L21=A21l11L21=A21l11
L22LT22=A22−L21LT21L22L22T=A22−L21L21T
前面的两个的求解很简单,对于第三个求解的过程
由于A22A22是n-1*n-1维的;L_{21}是[n-1,1]的维度。
因此A′22=A22−L21LT21A22′=A22−L21L21T是[n-1,n-1]维,则对应的是 AT22=L22LT22A22T=L22L22T也是一个Cholesky分解。递归求解。