三维旋转四元数系列（2.三维旋转之轴角与罗德里格斯公式推导）

序：上两节我们介绍了复数的基本概念与性质，以及复数与二维旋转的关系。

三维旋转四元数系列（0.复数基本介绍）https://blog.youkuaiyun.com/SKANK911/article/details/90033451

三维旋转四元数系列（1.复数与二维旋转）https://blog.youkuaiyun.com/SKANK911/article/details/90055245

这节开始进入三维空间。

我们生活中常用的三维空间旋转表达式欧拉角，其依赖于zyx三个坐标轴，对应偏航yaw、俯仰pitch、滚翻roll。

欧拉角由于其存在万向锁（Gimbal lock）的问题，不方便计算。关于万向锁的详细解释在这篇博客中有详细描述：https://blog.youkuaiyun.com/ccnt_2012/article/details/81327448。

数学性质更好的三维空间刚体描述有旋转向量（角轴/轴角）、旋转矩阵（旋转向量的反对称形式），当然还有本系列的主题四元数。在开始四元数之前我们先着重探讨一下轴角（旋转矩阵其实就是轴角的反对称嘛），以及与之相关的一个公式的推导（罗得里格斯公式）。

1.轴角

如上图所示，采用右手坐标系，u为轴角的旋转轴，向量v延u旋转Ѳ角度后得到 v’。这样一个旋转可采用{x,y,z, Ѳ }四个量描述。其中{x,y,z}为旋转轴u的坐标。

我们在定义转轴u{x,y,z}时实际上多引入了一个变量，由于只考虑旋转，可以加入约束（归一化）

这样旋转轴u可改为单位向量：

2.罗德里格斯公式

向量v在旋转轴所在坐标系下可分解为两个方向的分量相加，如下图：

则旋转前与后的向量可表示为：

                                                                            ；

其中 与u正交， 为v在u上的正交投影。由正交投影公式：

                                                                              

由此推出：

由于 与u重合，在旋转时不变即：

则计算 的旋转即可。我们俯视于旋转轴u，将三维旋转转化为二维观察。

如上图中w为构造的一个同时正交于u与 的向量，则其可由如下叉乘得到：

且满足如下约束：

                                                                      

即，模长相等。如上图经过旋转后的向量v’在该方向上的分量为：

                                                                

综上带入 与 可得：

其中 = 因为u平行于 ， 。

                                                                            

                                                                            

注意点乘与叉乘。至此完成了罗德里格斯公式的推导。该公式可以描述轴角到旋转矩阵的过程。令旋转矩阵为R则:

式中n对应旋转轴v，旋转角度为：

其中 =1+2