CodeForces1061C Multiplicity

最新推荐文章于 2025-12-15 22:32:00 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-15 22:32:00 发布 · 111 阅读

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文章标签：

#算法 #c++ #动态规划

文章讲述了如何使用动态规划解决从给定序列中找出满足特定条件（每个元素能被其索引整除）的非空子序列问题。由于数据范围过大，原状态转移方程式无法直接应用，因此采用了空间和时间优化，包括滚动数组和提前枚举因数，并给出了C++代码实现。

题面翻译

从序列 ${a_1,\ a_2,\ ..\ ,\ a_n\}$ 中选出非空子序列 ${b_1,\ b_2,\ ..\ ,\ b_k\}$ ，一个子序列合法需要满足 $bi\forall\ i \in [1,\ k],\ i\ |\ b_i$ 。求有多少互不相等的合法子序列，答案对 $10^9 + 7$ 取模。

序列 ${1,\ 1\}$ 有 $2$ 种选法得到子序列 ${1\}$ ，但 $1$ 的来源不同，认为这两个子序列不相等。

做法

看到题目就可以联想到动态规划状态转移方程式：

$f_{i,j}=\begin{cases}f_{i-1,j} \\f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}&j\mid a_i\end{cases}$

显然，数据范围过不去。无论从空间还是时间上都超了。

优化：

空间优化：滚动数组可以把第一维优化了，因为第一维只与上一次的状态有关系。
时间优化：只有满足 $j$ 是 $a_i$ 的因数时，状态才有效，所以对于每一个 $a_i$ ，提前枚举它的因数即可，但状态不能互相影响，所以要排序。

代码

#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cmath>
namespace FastIo{
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf,fw[100000],*pw=fw;
    #define gc p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++
    inline void pc(const char &ch){
    	if(pw-fw==100000)fwrite(fw,1,100000,stdout),pw=fw;
    	*pw++=ch;
	}
    #define fsh fwrite(fw,1,pw-fw,stdout),pw=fw
    struct QIO{
    	char ch;
    	int st[40];
    	template<class T>inline void read(T &x){
    		x=0,ch=gc;
    		while(!isdigit(ch))ch=gc;
    		while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=gc;}
		}
		template<class T>inline void write(T a){
			do{st[++st[0]]=a%10;a/=10;}while(a);
			while(st[0])pc(st[st[0]--]^48);
		}
	}qrw;
}
using namespace FastIo;
#define NUMBER1 1000000
const int mod=1e9+7;
#define P(A) A=-~A
#define fione(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;P(i))
#define fdone(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;--i)
int a[NUMBER1+5],f[NUMBER1+5],num[NUMBER1+5],len;
signed main(){
	int n,ans(0),k;
	qrw.read(n);
	fione(i,1,n)qrw.read(a[i]);
	f[0]=1;
	fione(i,1,n){
		len=0,k=sqrt(a[i]);
		for(register int j(1);j<=k;P(j)){// 提取因数
			if(!(a[i]%j)){
				num[++len]=j;
				if(j*j!=a[i])num[++len]=a[i]/j;
			}
		}
		std::sort(num+1,num+len+1);
		fdone(j,len,1)f[num[j]]=(f[num[j]]+f[num[j]-1])%mod;//状态转移
	}
	fione(i,1,n)ans=(ans+f[i])%mod;
	qrw.write(ans);
	fsh;
    exit(0);
    return 0;
}