杭电多校第七场jogging

最新推荐文章于 2024-08-14 12:45:43 发布

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本文探讨了在二维平面中，从特定点出发，遵循特定规则移动至'好点'并最终返回起点的概率计算问题。通过广度优先搜索算法（BFS）遍历所有可能的点，并应用'图上随机游走'算法得出结论，即答案为'起点的度数+1'除以'总度数+n'。

题目大意：在二维平面中有一个点 ( x , y ) ，规定 “ 好点 ” 的定义是，gcd( x , y ) > 1 ，现在从点 ( x , y ) 开始，每一次都能等概率的选择：

去周围八个方向中的“好点”
停留在原地不动

现在问在走无穷多次步数后，能够从点 ( x , y ) 出发再回到点 ( x , y ) 的概率是多少

题目分析：比赛时稍微打了个表，感觉是暴力bfs出所有点然后计算答案，主要是答案不会计算，就放掉了，因为 1e12 以内的相邻两个素数之差最大也不过几百，对应到二维平面中最多也就只有几万个点，所以可以暴力bfs出所有点

关于答案的计算，是一个结论，题解说的是“图上随机游走”算法，但我找不到相关博客去学习，无奈只能背过结论以防以后再遇到了

结论就是在建出无向图后，答案就是 “起点的度数 + 1 ” 除以 “总度数 + n”

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dir[10][2]={1,0,-1,0,0,1,0,-1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1};
struct sut{
	int x,y;
};
void bfs(int x,int y){
	queue<sut> q;
	set<pair<int,int>> st;
	int res1=0,res2=0;
	q.push(sut{x,y});
	st.emplace(x,y);
	while(!q.empty()){
		sut now = q.front();
		q.pop();
	//	cout<<now.x<<" "<<now.y<<endl;
		if(now.x==now.y){
			res1=0,res2=1;
			break;
		} 
		res2++;//注意这里要算上自己 
		for(int i=0;i<8;i++){
			int dx=now.x+dir[i][0];
			int dy=now.y+dir[i][1];
			//cout<<dx<<" "<<dy<<endl;
			if(__gcd(dx,dy)==1) continue;
			res2++;
			if(st.count(make_pair(dx,dy))) continue;
			st.emplace(dx,dy);
			q.push(sut{dx,dy});
		}
		if(res1==0) res1=res2;
		//cout<<res1<<" "<<res2<<endl;
	}
	int  gcd=__gcd(res1,res2);
	cout<<res1/gcd<<"/"<<res2/gcd<<endl;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		bfs(x,y);
	}
	
    return 0;
}