概率和期望

这几天集训有几道概率和期望的题，才知道到我之前的概率和期望的题简直就像小学生数数一样QAQ。所以我打算看一下概率和期望。下面是一些总结，至于那几道非人哉的题之后弄清楚了再写吧。不定期更新。

1.连续型变量的期望：概率密度积分什么的。
2.离散型变量的期望：
E(x)=sigma(x[i]*p[i])


3.平方的期望：E(x^2)=E(x)^2+D(x)

证明：E(x^2)=E(x)^2+D(x)
将D(x)展开:
D(x)=E(x^2 + E(x)^2 - 2*x*E(x))
    =E(x^2)+E(x)^2-2*E(x)*E(x)
E(x^2)=E(x)^2+D(x)
      =E(x)^2+E(x^2)+E(x)^2-2*(E(x)^2)
      =E(x^2)


用到了期望的性质：常数的期望为它本身


4.方差：D(x)=E((x-E(x))^2)
方差的性质：
a.D(cx)=C^2*D(x)
b.D(x+y)=D(x)+D(y) D(x-y)=D(x)+D(y)
证明：
D(x+y)=E(((x+y)-E(x+y)^2))
           =E((x-E(x))+(y-E(y))^2)
           =E(x-E(x))^2+E(y-E(y))^2+2*E((x-E(x))(y-E(y)))
           =D(x)+D(y)
x-y同理
推广：若x1,x2,...,xn相互独立,则有
D(x1+x2+...+xn)=D(x1)+D(x2)+...+D(xn)
D(x1-x2-...-xn)=D(x1)-D(x2)-...-D(xn)


5.重要的概率分布的数学期望
两点分布:D(x)=p(1-P)
均匀分布:均匀分布的数学期望位于区间的中点
指数分布：期望为1/N,方差为1/(n^2),其中N为指数系数