欧氏几何的五条公设

最新推荐文章于 2025-12-05 22:48:43 发布

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欧几里得几何是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中建立的经典几何体系，其基础是五条公设（也称为公理）。这些公设是无需证明的基本假设，用于推导出其他几何定理。以下是欧氏几何的五条公设，每条都用中文描述，并辅以数学符号以增强清晰度（所有行内数学表达式使用 $...$ 格式）。

从任意一点到任意一点可以作一条直线。
即，给定任意两点 $A$ 和 $B$ ，存在一条直线通过 $A$ 和 $B$ 。这保证了直线的基本存在性。
一条有限直线可以无限延长。
即，任何线段（如 $A B$ ）可以向两端无限延伸，形成射线或直线。这体现了空间的无限性。
以任意点为圆心及任意的距离为半径可以作一个圆。
即，给定任意点 $O$ 和距离 $r$ ，存在一个圆以 $O$ 为圆心、 $r$ 为半径。这定义了圆的基本构造。
所有直角都彼此相等。
即，任何直角都等于 $90∘90^\circ$ 。例如，如果 $∠ABC\angle ABC$ 和 $∠DEF\angle DEF$ 都是直角，则 $∠ABC=∠DEF=90∘\angle ABC = \angle DEF = 90^\circ$ 。这保证了角度的一致性。
如果一条直线与两条直线相交，且同旁内角之和小于两直角，则这两条直线在该侧相交。
这被称为平行公设。具体来说，假设有两条直线 $l$ 和 $m$ ，与第三条直线 $n$ 相交。如果 $n$ 与 $l$ 和 $m$ 形成的同旁内角之和小于 $180∘180^\circ$ （即小于两直角），则 $l$ 和 $m$ 在该侧相交。例如，若 $α+β<180∘\alpha + \beta < 180^\circ$ （其中 $α\alpha$ 和 $β\beta$ 是同旁内角），则 $l$ 和 $m$ 不平行，会相交。