套娃：分形几何学

套娃：分形几何学

分形几何学是一门研究不规则、自相似结构的数学分支，其中“套娃”概念常被用来比喻其核心特征——自相似性。就像俄罗斯套娃玩具一样，分形在任意尺度下都展现出相似的图案，层层嵌套、无限递归。这种特性使分形在自然界（如海岸线、雪花）和计算机图形学中广泛应用。下面我将逐步解释这一概念，确保内容真实可靠，并基于数学原理。

1. 什么是自相似性？

• 自相似性是分形的核心属性：一个对象的整体与其部分在形状上相似，无论放大多少倍，都能看到重复的模式。这类似于“套娃”中每个娃娃都是较小版本的复制品。
• 数学上，自相似性可以用尺度不变性描述：如果一个分形在缩放因子 $s$ 下保持不变，则其维度 $D$ 定义为：
  $$D=\frac{\log N}{\log s}$$
  其中 $N$ 是自相似部分的数目，$s$ 是缩放因子（通常 $s<1$）。例如，在 Koch 曲线中，$s=\frac{1}{3}$