当大多数还不知道什么是集合时，数学家们还在纠结第三次数学危机时，伽罗华已经站在集合这个新的巨人肩膀上创造出来了群论

伽罗华（Évariste Galois）在19世纪初就开创了群论，而当时集合论尚未被形式化，第三次数学危机更是几十年后才爆发。让我一步步解释这个背景，并简要介绍群论的核心概念，确保内容真实可靠。

1. 历史背景：伽罗华时代与数学危机

• 伽罗华生活在1811-1832年，他的主要工作在1830年左右完成。当时，数学界还在处理代数方程的可解性问题（如五次方程），而集合论作为一门系统的学科尚未出现。事实上，集合论的奠基人乔治·康托尔（Georg Cantor）的工作始于1870年代，他定义了集合、无限集等概念。
• 第三次数学危机发生在20世纪初（约1901-1908年），以伯特兰·罗素（Bertrand Russell）的悖论为代表，暴露了数学基础的不一致性。例如，罗素悖论涉及“所有不属于自身的集合”：
  R={ x∣x∉x} R = \{ x \mid x \notin x \} R={ x∣x∈/x}
  这导致数学家们重新审视集合论的公理化（如ZFC公理系统）。
• 因此，伽罗华确实“站在了巨人的肩膀上”，但他的“巨人”是当时的代数思想，而非后来的集合论框架。他的工作超前于时代，为现代数学铺平了道路。

2. 伽罗华的贡献：群论的诞生

• 伽罗华的核心贡献是解决多项式方程的可解性问题。他发现，方程的根可以通过对称变换（即“群”）来描述是否可用根式求解。这导致了群论的出现。
• 群论的基本定义（用现代语言表述）：一个群$G$是一个非空集合，配备一个二元运算⋅\cdot