一般性约束问题的最优性条件例题

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#算法

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博客围绕一个优化问题展开，给出目标函数及约束条件，通过求梯度，将特定点代入式子，依据KT条件列出方程，经计算得出特定点是KT点，并求出对应的KT对，涉及算法相关知识。

本题摘自《最优化方法及其Matlab程序设计第一版》 123(130/271)

【例22】考虑优化问题
$\mathrm{min} f(x) = -2x^2_1-x^2_1 \ , \\ \mathrm{s.t.} \quad x^2_1+x^2_2-2=0 \ ,\\ -x_1+x_2 \ge 0 \ , \\ x_1 \ge 0 \ , x_2 \ge 0.$
试验证 $x∗=(1,1)Tx^*=(1,1)^\mathrm{T}$ 为 $K T$ 点，并求出问题的 $K T$ 对。

【解】记
$\begin{aligned} f(x) &= -2x^2_1-x^2_1,\\ h(x) &= x^2_1+x^2_2-2,\\ g_1(x) &= -x_1+x_2, \\ g_2(x) &= x_1, \\ g_3(x) &= x_2. \end{aligned}$
求梯度，得到
$\begin{aligned} \bigtriangledown f(x) &= \begin{bmatrix} -4x_1 \\ -2x_2 \end{bmatrix}, \quad \bigtriangledown h(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 \\ 2x_2 \end{bmatrix}, \\ \bigtriangledown g_1(x) &= \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \bigtriangledown g_2(x) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \bigtriangledown g_3(x) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}. \end{aligned}$
把 $x∗=(1,1)Tx^*=(1,1)^\mathrm{T}$ 代入上面5个式子，由 $K T$ 条件有，

注意：这里一定注意要加负号！！！！

$\left\{\begin{matrix} -4-2\mu+\omega_1-\omega_2 = 0 \\ -2-2\mu-\omega_1+\omega_3 = 0 \end{matrix}\right. \tag{1}$
因为
$\left\{\begin{matrix} \omega_2\bigtriangledown g_2(\bar{x}) = 0 \\ \omega_3\bigtriangledown g_3(\bar{x}) = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \omega^*_2 = 0 \\ \omega^*_3 = 0 \end{matrix}\right.$
所以 $(1)$ 变为
$\left\{\begin{matrix} -4-2\mu+\omega_1 = 0 \\ -2-2\mu-\omega_1 = 0 \end{matrix}\right. \tag{2}$
求解 $(2)$ 式，得到
$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} \mu^* &= -1.5 \\ \omega^*_1 &= 1 \end{aligned} \end{matrix}\right.$
这表明 $x^*$ 是 $K T$ 点， $(x∗,(μ∗,ω∗))(x^*,(\mu^*,\omega^*))$ 是 $K T$ 对，其中， $μ∗=−1.5\mu^*=-1.5$ ， $ω∗=(1,0,0)T\omega^*=(1,0,0)^\mathrm{T}$ 。