poj1113 凸包

题目：http://poj.org/problem?id=1113

概念

凸包(Convex Hull)是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基百科：凸包。

这个算法是由数学大师葛立恒(Graham)发明的，他曾经是美国数学学会(AMS)主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会(IJA)主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~）

 

问题

给定平面上的二维点集，求解其凸包。

 

过程

1. 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。

 

 

2. 线段<H, K>一定在凸包上，接着加入C。假设线段<K, C>也在凸包上，因为就H，K，C三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段<K, D>才会在凸包上，所以将线段<K, C>排除，C点不可能是凸包。

3. 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为p_{n + 1}，上一点为p_n，再上一点为p_{n - 1}。顺时针扫描时，如果向量<p_{n - 1}, p_n>与<p_n, p_{n + 1}>的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。

 

注意：在对极角（即最左点与其他点的交角）进行排序时要注意考虑共线情况

 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#define PI 3.141592653
struct aa
{
	int x,y;
	int n;
	double angle;  //交角
}point[1100];
struct aa stack[1100];   //栈
double angle(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return atan2((double)(y1-y2),(double)(x1-x2));
}
int cmp(const void *a,const void *b)
{
	struct aa *c=(struct aa *)a;
	struct aa *d=(struct aa *)b;
	if(c->angle!=d->angle)
		return (c->angle>d->angle)?1:-1;
	return c->x-d->x;
}
int cross(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return ( (x1*y2)-(x2*y1) )>0?1:0;
}
int Grasan(int n,int end)
{
	int i,j,m;
	int p1,p2,p3;
	for(i=4;i<=n;i++)
	{
		while(end>=2)
		{
			if(cross(stack[end].x-stack[end-1].x,stack[end].y-stack[end-1].y,point[i].x-stack[end].x,point[i].y-stack[end].y)==1)
			{stack[++end]=point[i];break;}
			else
				end--;
		}
		if(end==1)
			stack[++end]=point[i];
	}
	return end;
}
double dist(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return sqrt((double) ((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2)) );
}
double count(int end)
{
	int i;
	double sum=0;
	for(i=1;i<end;i++)
		sum+=dist(stack[i].x,stack[i].y,stack[i+1].x,stack[i+1].y);
	sum+=dist(stack[1].x,stack[1].y,stack[end].x,stack[end].y);
	return sum;
}
int main()
{
	int i,j,n,m,l,end;
	scanf("%d%d",&n,&l);
	for(i=1,m=1;i<=n;i++)     //寻找最左边的点，记为基点
	{
		scanf("%d%d",&point[i].x,&point[i].y);point[i].n=i;
		if(point[i].y<point[m].y||(point[i].y==point[m].y&&point[i].x<point[m].x))
			m=i;
	}
	//求极角
	for(i=1,point[i].angle=-1;i<=n;i++)
		if(i!=m)
			point[i].angle=angle(point[i].x,point[i].y,point[m].x,point[m].y);

	//对极角由小到大排序，极角相等按x大小升序排
	qsort(point+1,n,sizeof(point[0]),cmp);

	stack[1]=point[1];
	stack[2]=point[2];
	stack[3]=point[3];
	end=3;
	end=Grasan(n,end);
	printf("%.0f\n",count(end)+2.0*PI*l);
	return 0;
}