Atcoder训练实录

最新推荐文章于 2025-06-04 22:33:05 发布

Rose_max

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分类专栏：合辑

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本文深入解析AtCoder竞赛中的三道难题：BichromeSpanningTree、PermutationTree及SweetAlchemy，探讨最小生成树、树状结构及贪心算法在解决复杂问题中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前言

上一篇似乎咕咕咕了233333
来Atcoder玩耍

**ARC093-E - Bichrome Spanning Tree

总感觉这题也不算很难…
但是自己又还是不会做…
相当于要求你一个同时包含了黑边与白边的 $M S T$
遇见生成树的题，一般先联系一下最小生成树的关系
设原图的 $M S T$ 为 $T$ ，边权和为 $S$
先任意找出一个 $M S T$ ，对于每条不在当前 $M S T$ 的边，我们求出一个 $n u m [i]$ 表示他的权减去他能替换掉 $M S T$ 的边中最大的边权
然后分类讨论
如果 $S > X$ ，显然无解，否则设 $eq=∑[num[i]=X−S],up=∑[num[i]>X−S]eq=\sum [num[i]=X-S],up=\sum[num[i]>X-S]$
当 $S = X$ 的时候，我们有两种操作，分别是就让当前的 $M S T$ 成为新图的 $M S T$ ，以及构建一个新 $M S T$ 使其满足上述条件
第一个就是 $2^{n-1}-2)*2^{m-n+1}$ ，前面去除了 $M S T$ 全为黑或白的情况
第二个就是 $2*(2^{eq}-1)*2^{up}$ ，表示找出来的 $M S T$ 全为白或黑，但是能替换的边中至少有一个是可以替换使得合法的
当 $S < X$ 的时候，贡献就是上面的第二个

**ARC095-F - Permutation Tree

自己sb
先分析一下他这种造树方法造出的是个什么树
从表面看不好看，我们考虑从小到大枚举数，即按序枚举 $1, 2, 3 . .$ 出现的位置
记录一个 $m x$ 表示当前最右的点在哪
每枚举到一个 $i$ ，先让他和 $m x$ 连边，再让 $m x$ 与 $i$ 所在的位置取 $m a x$
容易知道这就是他给出的构造方法所构出来的树
再仔细想一想的话，可以发现的是，这样的构造方法实际上是先出来一条链，链上每个点挂上一些点
那么如果原图非这样的图就gg了，判的话显然构造的链是直径，找到瞎判即可
然后再算答案
我们可以将链上每个点挂的点计数，不妨设为 $c n t [i]$
容易想到，肯定是让 $c n t$ 字典序最小的那一面开始挂点
那么如果枚举到链上第 $i$ 个点，已经用了的编号为 $l s t$
那么让 $[l s t + 2, l s t + c n t [i] + 1]$ 按序填在答案数组，在最后填上 $l s t + 1$
可以发现，这样一定是字典序最小的方案

发现自己很容易忘记分析题目构造的性质…
类似从小到大加数这样的常规操作

ARC095-E - Symmetric Grid(口胡

没有算复杂度qwq…
容易发现，行和列是不相关的操作
那么先枚举行放什么，再判断列能不能放好
开搜，枚举每行的匹配行与每列的匹配列
行确定之后列的确定只需要知道某列reverse之后是否与另一列同构
发现状态数极少
于是就pass了

**ARC096-F - Sweet Alchemy

$n$ 不大也不小的题就有点恶心了…
注意到儿子的选择次数一定大于等于父亲，那么可以转化题意
每次选一棵子树 $+ 1$ ，只有以 $1$ 为根的子树可以无限选其他都仅能选 $D$ 次
~~值域小一点似乎可以直接背包？~~
但是值域有点大…这时候要想到一个套路就是
在大范围贪心，小范围大力 $d p$
考虑两个物品分别有 $v_i,v_j$ 的费用与 $w_i,w_j$ 的贡献
那么我们考虑如果取了 $v_i$ 个 $j$ 物品与 $v_j$ 个 $i$ 物品的时候，他们占用的费用是相同的，但是贡献肯定有一个较小
那我们可以贪心地把较小的那个给去掉换成较大的那个，此时费用仍然相同但是贡献会变大
所以最后，一定存在是一些都在小于 $n$ 的个数，其余的是通过贪心取值的
这里的贪心我们可以用一个经典的性价比贪心来完成
故每个物品取 $m i n (n, D)$ 个出来单独做 $d p$ ，剩余的用贪心来贡献

**ARC096-E - Everything on It

感觉一下就是个容斥，脑子混乱了竟然有一个东西没想到…
用经典容斥设 $f [i]$ 表示至少有 $i$ 个非法选择方案，~~窝之前居然naive的想设2维状态…~~
式子写一下
$∑i=0n(−1)i22n−iCni∑j=0i∑k=1jS(j,k)∗Cij∗(2n−i)k\sum_{i=0}^{n}(-1)^i2^{2^{n-i}}C_{n}^{i}\sum_{j=0}^i\sum_{k=1}^jS(j,k)*C_{i}^{j}*(2^{n-i})^k$
解释一下
前面那个 $2^{2^{n-i}}$ 是指不包含非法酱的集合有多少
首先是枚举至少有多少个酱非法选择了，其次枚举有多少个出现了一次的酱料.我之前居然naive的卡在了不会算他们合在一起的方案数…md就是个斯特林数啊…
后面那个东西是让每个合法酱料在其中任意出现的方案数
这个东西可以 $n^3logn$ 做了…
观察式子感觉没法优化…那就从组合意义之类的入手
随便化开可以得到一个这样的东西
$∑j=kiS(j,k)∗Cij\sum_{j=k}^iS(j,k)*C_{i}^{j}$
注意他的现实意义是，将 $i + 1$ 个不同求扔进 $k + 1$ 个不同的盒子中的方案数。证明的话考虑这个式子枚举的是不与 $i + 1$ 放在一起的球是什么…
那么就可以愉快 $n^2logn$ 了