『线段树扫描线算法』简单理解

Question1

给定若干个矩形，线矩形的面积并。分别用$O(n^2)$级别和$O(nlogn)$级别的算法解决。

我们的做法是对矩形的纵坐标进行离散化，得到离散化后的坐标$y_1,y_2,...,y_m.$用$val(y)$表示原始坐标值。这样我们就可以将浮点数转化为了方便处理的整数，有利于数组下表的表示。

我们用数组$c[i](i\in [1,m))$存储在当前情况下，$y_{i+1}-y_i$的纵区间的覆盖情况。$0$表示没有覆盖，$k$表示被覆盖了$k$次，不可能出现小于$0$的情况，因为只有“被覆盖的次数”和“没有覆盖”两种情况的存在。

现在我们回到这个面积计算的题中：我们可以将一个矩形的左右边界分别处理，左边界带来的是“正影响”，会对答案做出纵区间大小的贡献；右边界带来的是“负影响”，会使先前的正影响消失。这也是上面c数组都是非负数的原因。因此我们可以将左右边界分开，用四元组表示(横坐标，上边界，下边界，影响)；用$(x_i,y_{1,i},y_{2,i},f_i)$表示。这里的影响指“正影响”和“负影响”，分别规定为1和-1.

得到若干个四元组以后，我们需要对$x$坐标进行排序，那么我们得到了一个$x$坐标递增的“竖线”。枚举每一个四元组，若当前的影响为正，则令$c[k](k\in [y_{1,i},y_{2,i}))$加上1，表示这个纵区间产生了影响；反之，则减去$1$来消除这一个影响。

现在我们需要统计答案，当i>1i>1