『树形背包』苹果树

最新推荐文章于 2020-08-15 09:39:20 发布

pigzhouyb

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分类专栏：动态规划DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ronaldo7_ZYB/article/details/89289451

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该博客介绍了如何解决一道名为「苹果树」的树形背包问题。题目要求在点权和不超过m的情况下，找出最大点数。博主解析了问题本质，提出以点的个数为体积，价值为体积，并给出了状态转移方程，强调了在避免超时的情况下确定状态范围的重要性。并提供了相应的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

题目链接：苹果树

题目大意：求一个联通点集点权和 $\leq m$ 的最大点的个数。

题解

这道题是一个树形背包问题，以点的个数为体积，以体积为价值；然后我们只要找到体积 $\le m$ 的最大点数即可。

我们设 $f [i] [j]$ 表示以 $i$ 为根的子树中，一定选第 $i$ 个点且选了 $j$ 个点的最小花费。

若当前节点为 $x$ ，一个子节点为 $y$ ，则有状态转移方程： $f[x][i+j]\ =\ min(f[y][j]+f[x][i])$

如果你讲i的范围定为 $1\le i\le min(size[x],m)$ ,那么会超时。

由于题目中给定每一个 $w_i$ 都不相同，设 $1+2+...+M\leq m$ ,那么i的取值范围就是 $1\le i\le min(size[x],M)$ .

同理， $j$ 的取值范围是： $1\le j\le min(M,size[y])$ 。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 200000;
int n,m,M;
int ans = 0;
int size[N];
int f[N][500];
vector <int> a[N];

void dp(int x,int fa)
{
	for (int p=0;p<a[x].size();++p)
	{
		int y = a[x][p];
		if (y == fa) continue;
		dp(y,x);
		for (int i=min(size[x],M);i>=1;--i)
		    for (int j=min(size[y],M);j>=1;--j)
		        if (i+j <= m)
		        	f[x][i+j] = min(f[x][i]+f[y][j],f[x][i+j]);
		size[x] += size[y];
	}
	for (int i=M;i>ans;--i) 
	    if (f[x][i]<=m) 
	    {
	    	ans = i;
	    	break;
	    }
}

int main(void)
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for (int i=1,sum = 0;;++i)
	{
		sum += i;
		if (sum > m) {
			M = i;
			break;
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		size[i] = 1;
		scanf("%d",&f[i][1]);
		for (int j=2;j<=M;++j) f[i][j] = INT_MAX;
	}
	for (int i=1;i<n;++i)
	{
		int x,y;
		scanf("%d %d",&x,&y);
		a[x].push_back(y);
		a[y].push_back(x); 
	}
	dp(1,0);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}