大数运算详解
本文深入讲解了大数加法、减法及乘法的实现原理与算法，通过三种不同的代码示例展示了如何处理超出标准整型变量范围的数值运算，包括字符串操作、进位处理、借位逻辑以及Karatsuba快速相乘算法。
【大数相加】
【代码一】
/*********************************
* 日期：2015-01-28
* 作者：SJF0115
* 题目: 大数加法(高精度加法)
* 博客：
**********************************/
#include <iostream>
using namespace std;
string AddString(string num1,string num2){
int len1 = num1.length();
int len2 = num2.length();
// 容错处理
if(len1 <= 0){
return num2;
}//if
if(len2 <= 0){
return num1;
}
string result;
int i = len1-1,j = len2-1;
int a,b,sum,carry = 0;
// 倒序相加
while(i >= 0 || j >= 0 || carry > 0){
a = i >= 0 ? num1[i] - '0' : 0;
b = j >= 0 ? num2[j] - '0' : 0;
// 按位相加并加上进位
sum = a + b + carry;
// 进位
carry = sum / 10;
result.insert(result.begin(),sum % 10 + '0');
--i;
--j;
}//while
return result;
}
int main(){
string num1("72");
string num2("874");
string result = AddString(num1,num2);
// 输出
cout<<result<<endl;
return 0;
}
【代码二】
/*********************************
* 日期：2015-01-28
* 作者：SJF0115
* 题目: 大数加法(高精度加法)
* 博客：
**********************************/
#include <iostream>
using namespace std;
string AddString(string num1,string num2){
int len1 = num1.length();
int len2 = num2.length();
int max = len1 > len2 ? (len1 + 2) : (len2 + 2);
char* result = new char[max];
int index = 0;
int i = len1 - 1,j = len2 - 1;
int numA,numB,carry = 0,sum = 0;
//加法
while(i >= 0 || j >= 0 || carry > 0){
numA = i >= 0 ? (num1[i] - '0') : 0;
numB = j >= 0 ? (num2[j] - '0') : 0;
sum = numA + numB + carry;
carry = sum / 10;
result[index++] = sum % 10 + '0';
--i;
--j;
}//while
result[index] = '\0';
//反转
for(i = 0,j = index - 1;i < j;++i,--j){
char temp = result[i];
result[i] = result[j];
result[j] = temp;
}//for
return string(result);
}
int main(){
string num1("872");
string num2("874");
string result = AddString(num1,num2);
// 输出
cout<<result<<endl;
return 0;
}
【代码三】
#include<stdio.h>
#include<string.h>
char a[10001],b[10001],sum[10002];
int BigIntegerAdd(){
//两个数的长度
int lena = strlen(a);
int lenb = strlen(b);
//进位标记
int c = 0;
int i,j,k;
//初始化数组sum
memset(sum,0,10001);
//倒序相加
k = 0;
for(i = lena-1,j = lenb-1;i >= 0 && j >= 0;i--,j--){
sum[k] = a[i] + b[j] - '0' + c;
c = 0;
//如果相加大于等于10
if(sum[k] > '9'){
sum[k] -= 10;
c = 1;
}
k++;
}
//a > b
while(i >= 0){
sum[k] = a[i] + c;
c = 0;
//如果相加大于等于10
if(sum[k] > '9'){
sum[k] -= 10;
c = 1;
}
k++;
i--;
}
//b > a
while(j >= 0){
sum[k] = b[j] + c;
c = 0;
//如果相加大于等于10
if(sum[k] > '9'){
sum[k] -= 10;
c = 1;
}
k++;
j--;
}
//如果最后两个数相加有进位的情况
//例如：67 + 51：5+6有进位
if(c == 1){
sum[k++] = '1';
}
//翻转
char temp;
for(i = 0,j = k-1;i < j;i++,j--){
temp = sum[i];
sum[i] = sum[j];
sum[j] = temp;
}
return 0;
}
int main(){
while(scanf("%s %s",a,b) != EOF){
BigIntegerAdd();
puts(sum);
}
}
【大数相减】
【代码一】
string MinusString(string num1, string num2) {
int len1 = num1.length();
int len2 = num2.length();
// 相等
if(num1 == num2){
return "0";
}//if
// 正负
bool positive = true;
if(len1 < len2 || (len1 == len2 && num1 < num2)){
positive = false;
// 交换使之num1 > num2
string tmp = num1;
num1 = num2;
num2 = tmp;
int temp = len1;
len1 = len2;
len2 = temp;
}//if
string result;
int i = len1 - 1,j = len2 - 1;
int a,b,sum,carray = 0;
// 从低位到高位对位做减法
while(i >= 0 || j >= 0){
a = i >= 0 ? num1[i] - '0' : 0;
b = j >= 0 ? num2[j] - '0' : 0;
sum = a - b + carray;
carray = 0;
// 不够减
if(sum < 0){
sum += 10;
carray = -1;
}//if
result.insert(result.begin(),sum + '0');
--i;
--j;
}//while
// 删除前导0
string::iterator it = result.begin();
while(it != result.end() && *it == '0'){
++it;
}//while
result.erase(result.begin(),it);
return positive ? result : "-"+result;
}
【代码二】
/*
1.比较减数与被减数的长度,确定正负号
2.模拟减法运算
(1)a[i] == b[j]
(2)a[i] < b[j] //借位
(3)a[i] > b[j]
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
char a[10001],b[10001],sum[10001],temp[10001];
int BigIntegerMinus(){
//两个数的长度
int lena = strlen(a);
int lenb = strlen(b);
//借位标记
int c = 0;
int i,j,k,positive = 1;
//判断正负号
if(lena < lenb || (lena == lenb && strcmp(a,b) < 0) ){
strcpy(temp,a);
strcpy(a,b);
strcpy(b,temp);
positive = -1;//负号
lena = strlen(a);
lenb = strlen(b);
}
//倒序相减
k = 0;
for(i = lena-1,j = lenb-1;i >= 0 && j >= 0;i--,j--){
sum[k] = a[i] - b[j] + '0' + c;
c = 0;
//如果相减小于0
if(sum[k] < '0'){
sum[k] += 10;
c = -1;
}
k++;
}
//a > b
while(i >= 0){
sum[k] = a[i] + c;
c = 0;
//如果相减小于0
if(sum[k] < '0'){
sum[k] += 10;
c = -1;
}
k++;
i--;
}
//b > a
while(j >= 0){
sum[k] = b[j] + c;
c = 0;
//如果相减小于0
if(sum[k] < '0'){
sum[k] += 10;
c = -1;
}
k++;
j--;
}
int index = k - 1;
//检索高位，有可能相减为0
while(sum[index] == '0' && index > 0){
index--;
}
//正号
if(positive == 1){
sum[index+1] = '\0';
}
//负号
else{
sum[++index] = '-';
sum[index+1] = '\0';
}
//翻转
char t;
for(i = 0,j = index;i < j;i++,j--){
t = sum[i];
sum[i] = sum[j];
sum[j] = t;
}
return 0;
}
int main(){
while(scanf("%s %s",a,b) != EOF){
BigIntegerMinus();
puts(sum);
}
}
【大数乘法】
【代码一】
/*********************************
* 日期：2015-01-28
* 作者：SJF0115
* 题目: 高精度乘法(大数乘法)
* 博客：
**********************************/
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
string MultiplyString(string num1, string num2) {
int len1 = num1.length();
int len2 = num2.length();
// 容错处理
if(len1 <= 0 || len2 <= 0){
return "";
}//if
int sum = 0;
int len3 = len1 + len2;
char result[len3];
memset(result,'0',sizeof(result[0])*(len3+1));
for(int i = len1 - 1,m = 0;i >= 0;--i,++m){
for(int j = len2 - 1,n = 0;j >= 0;--j,++n){
sum = (num1[i] - '0') * (num2[j] - '0') + result[m+n] - '0';
result[m+n] = sum % 10 + '0';
// 进位
result[m+n+1] += sum / 10;
}//for
}//for
//去掉前导0 确定乘积的位数
while(result[len3] == '0' && len3 > 0){
--len3;
}//while
//注意：加'\0'
result[len3+1] = '\0';
//翻转
int temp;
for(int i = 0,j = len3;i < j;++i,--j){
temp = result[i];
result[i] = result[j];
result[j] = temp;
}//for
return string(result);
}
int main(){
string num1("2");
string num2("123");
string result = MultiplyString(num1,num2);
// 输出
cout<<result<<endl;
return 0;
}<span style="color:#ff0000;">
</span>
【代码二】
#include<stdio.h>
#include<string.h>
char a[10001],b[10001],c[20002];
int BigIntegerMulti()
{
int i,j,lena,lenb,lenc;
//初始化
memset(c,'0',20002);
//两个数的长度
lena = strlen(a);
lenb = strlen(b);
//乘积最大位数
lenc = lena + lenb - 1;
//翻转
char temp;
for(i = 0,j = lena-1;i < j;i++,j--){
temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
for(i = 0,j = lenb-1;i < j;i++,j--){
temp = b[i];
b[i] = b[j];
b[j] = temp;
}
//倒序相乘
/*
123
* 54
------
492
615
-----
6642
*/
int t;
for(i = 0;i < lena;i++){
for(j = 0;j < lenb;j++){
/* c[i+j] = (a[i] - '0') * (b[j] - '0') + c[i+j];
9 * 9 + '0' 超出char范围越界所以设置一个int临时变量t */
t = (a[i] - '0') * (b[j] - '0') + c[i+j] - '0';
//进位
c[i+j+1] = t / 10 + c[i+j+1];
c[i+j] = t % 10 + '0';
}
}
//确定乘积的位数
while(c[lenc] == '0' && lenc >0){
lenc--;
}
//注意：加'\0'
c[lenc+1] = '\0';
//翻转
for(i = 0,j = lenc;i < j;i++,j--){
temp = c[i];
c[i] = c[j];
c[j] = temp;
}
return 0;
}
int main(){
while(scanf("%s %s",a,b) != EOF){
BigIntegerMulti();
puts(c);
}
return 0;
}
【代码三】
/*********************************
* 日期：2015-01-29
* 作者：SJF0115
* 题目: Karatsuba快速相乘算法
* 博客：
**********************************/
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
// given two unequal sized bit strings, converts them to
// same length by adding leading 0s in the smaller string. Returns the
// the new length
int MakeSameLen(string& num1,string& num2){
int len1 = num1.length();
int len2 = num2.length();
if(len1 < len2){
for(int i = 0;i < len2 - len1;++i){
num1 = "0" + num1;
}//for
return len2;
}//if
else{
for(int i = 0;i < len1 - len2;++i){
num2 = "0" + num2;
}//for
return len1;
}//else
}
// big number minus function
string MinusString(string num1, string num2) {
int len1 = num1.length();
int len2 = num2.length();
// 相等
if(num1 == num2){
return "0";
}//if
// 正负
bool positive = true;
if(len1 < len2 || (len1 == len2 && num1 < num2)){
positive = false;
// 交换使之num1 > num2
string tmp = num1;
num1 = num2;
num2 = tmp;
int temp = len1;
len1 = len2;
len2 = temp;
}//if
string result;
int i = len1 - 1,j = len2 - 1;
int a,b,sum,carray = 0;
// 从低位到高位对位做减法
while(i >= 0 || j >= 0){
a = i >= 0 ? num1[i] - '0' : 0;
b = j >= 0 ? num2[j] - '0' : 0;
sum = a - b + carray;
carray = 0;
// 不够减
if(sum < 0){
sum += 10;
carray = -1;
}//if
result.insert(result.begin(),sum + '0');
--i;
--j;
}//while
// 删除前导0
string::iterator it = result.begin();
while(it != result.end() && *it == '0'){
++it;
}//while
result.erase(result.begin(),it);
return positive ? result : "-"+result;
}
// big number add function
string AddString(string num1,string num2){
int len1 = num1.length();
int len2 = num2.length();
// 容错处理
if(len1 <= 0){
return num2;
}//if
if(len2 <= 0){
return num1;
}
string result;
int i = len1-1,j = len2-1;
int a,b,sum,carry = 0;
// 倒序相加
while(i >= 0 || j >= 0 || carry > 0){
a = i >= 0 ? num1[i] - '0' : 0;
b = j >= 0 ? num2[j] - '0' : 0;
// 按位相加并加上进位
sum = a + b + carry;
// 进位
carry = sum / 10;
result.insert(result.begin(),sum % 10 + '0');
--i;
--j;
}//while
return result;
}
// 移位
string ShiftString(string num,int len){
if(num == "0"){
return num;
}//if
for(int i = 0;i < len;++i){
num += "0";
}//for
return num;
}
// Karatsuba快速相乘算法
string KaratsubaMultiply(string num1, string num2) {
int len = MakeSameLen(num1,num2);
if(len == 0){
return 0;
}//if
// all digit are one
if(len == 1){
return to_string((num1[0] - '0')*(num2[0] - '0'));
}//if
int mid = len / 2;
// Find the first half and second half of first string.
string x1 = num1.substr(0,mid);
string x0 = num1.substr(mid,len - mid);
// Find the first half and second half of second string
string y1 = num2.substr(0,mid);
string y0 = num2.substr(mid,len - mid);
// Recursively computer
string z0 = KaratsubaMultiply(x0,y0);
string z1 = KaratsubaMultiply(AddString(x1,x0),AddString(y1,y0));
string z2 = KaratsubaMultiply(x1,y1);
// (z2*10^(2*m))+((z1-z2-z0)*10^(m))+(z0)
// z2*10^(2*m)
string r1 = ShiftString(z2,2*(len - mid));
// (z1-z2-z0)*10^(m)
string r2 = ShiftString(MinusString(MinusString(z1,z2),z0),len - mid);
return AddString(AddString(r1,r2),z0);
}
int main(){
string num1("12345001");
string num2("1006789");
string result = KaratsubaMultiply(num1,num2);
// 输出
cout<<result<<endl;
return 0;
}
本文原文地址：https://blog.youkuaiyun.com/SunnyYoona/article/details/43226505
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